GEOMETRİ Tarihi Üzerine Makaleler

 

 

1-) GEOMETRİNİN TARİHÇESİ

 

2-) UZUNCA GEOMETRİ TARİHİ 

 

3-) GEOMETRİ HAKKINDA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

GEOMETRİNİN TARİHÇESİ   (Müslümanların geometriye katkısı da göz önüne alınmış,ortaokul ve lise öğrencileri için ideal)

Bilim tarihi içinde matematiksel gelişmelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematiğin orjinini oluşturan iki temel alan vardır: Aritmetik ve Geometri.

Geometri uzayın ve uzayda tasarlanabilen biçimlerin, kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalıdır. Etimolojik olarak "geometri" kelimesi, dünya'nın ölçümü anlamına gelir. Geometri çok eski çağlardan beri vardır. Ancak geometri ismi, bu ilmin ilk sistematik hale gelmeye başladığı Eski Yunanlılardan bu yana kullanılmaya başlanmıştır.  Bu bilim dalı başlangıçta, düzlemdeki ve uzaydaki şekillerin incelenmesini konu edindi. Söz konusu şekiller somut nesnelerden türemelerine rağmen, geometri, deneysel yöntemlerin kullanımını çok erken terk etti. Bunun tersine, şekilleri gerçek nesnelerin ideal biçimine indirgemeye çalıştı (parçaları olmayan nokta; bütün noktalarında kendine benzeyen doğru). Öte yandan geometri, gözlemi de ölçmeyi de kullanmayan postulatlar (koyutlar) ve sonuçlarla işleyen bir kanıtlama biçimine başvurdu.

Yüzölçümü hesaplamak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gök cisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına, haritalara, planlara, coğrafyada kullanılan ölçeklere, makine yapımına, mimarlığa varıncaya kadar, geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir. Bugünde kullandığımız mühendis kelimesi Arapça’da “hendese bilen” anlamına gelir ki hendese geometrinin bir diğer ismidir.

Geometrinin “yer ölçme” (geo: yer, metr: ölçüm) anlamı aslında tarihin derinliklerinde geometrinin taşıdığı anlamdır. İnsanoğlu toprak ile karşılaştığında ondan yararlanmaya, ona sahip olmaya başlamıştır. İlk medeniyetin beşiği sayılan Nil  Vadisi’nde Temmuz ve Ağustos aylarında Nil nehri taşar ve en dar yeri 7 km, en geniş yeri 40 km olan yatağını alüvyonlu topraklarla örter. Böylece arazi üzerindeki hudutları bir bakıma siler. Ardından araziyi işlemek isteyenler arasında “burası senindi, burası benimdi” kavgaları olurdu. Bu  probleme kalıcı bir çözüm bulmak hayli zor ve zaman alıcı olmuştur. Nihayet gökyüzündeki yıldızların oluşturduğu üçgen, dörtgen, ... gibi şekiller arazi üzerine çizildi. Ve bunların sahipleri tespit edilerek karışıklıklara son verildi.. Böylece ilk geometri konuları da ele alınmış oldu. Bu gayretler devam ettikçe geometri gelişmiştir.

İlk geometrilerin tümü, kendi doğası nedeniyle sezgiseldir. Bunlar daha çok ilk insanların çevresinde görülen doğal şekillerdir. Bu geometriler daha çok görsel türdedir. İkinci olarak şekillerin ölçülmesi aşaması gelir.

Eski Mısır'da görülen geometri bilgileri, yüzey ve hacim hesapları olarak karşımıza çıkmaktadır. Mısırlılar, kare ve dikdörtgen alanlarını, doğru bir şekilde hesaplayabiliyorlardı. Düzgün olmayan bir yüzeyin planını ise, dörtgenleştirme yoluyla elde ediyorlardı. Üçgen alanı bilgisinden hareket ederek de, yamuğun alanını elde ediyorlardı.

Dörtgenlerin ve üçgenlerin ölçülmesi ilk kez Mısır’da Ahmes’in (İ.Ö.1550) papirüsünde görülür. Bu papirüs İ.Ö.1580 tarihinden önce yazılmıştır. b tabanlı ve h yükseklikli ikiz kenar üçgenin alanının bh/2 olduğu verilmiştir. Yine aynı papirüste d çaplı bir dairenin alanının (d-d/9)2 yazımına eşdeğer olduğu yazılmıştır. Bu yazımlara göre pi sayısı yaklaşık olarak 3.1605 dolaylarındadır. Bu formül geometrik şekilden yaklaşık olarak elde edilmiştir.

Mısırlılar'ın; üç boyutlu cisimlerden; silindir, koni, piramit, dikdörtgen prizma ve kesik prizma hacimlerini de bildikleri anlaşılmaktadır. Kesik piramidin hacminin hesaplanması, zamanın geometrisi için son derece önem taşımaktadır. Ord.Prof.Dr.Aydın Sayılı; Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp adlı eserinde  konu ile ilgili geniş bilgi verdikten sonra şunları yazar: "Mısırlılar'ın, aritmetiklerinde olduğu gibi geometri problemlerinin çözümünde de, tamamıyla somut özel hallerin ele alınmasından ileri gidilmiyor. Karşılaşılan bütün örneklerde ortak bir vasıf Mısır geometrisinde genel formül kavramının mevcut olmayışıdır. Zihinde bir nevi genel formül fikri ve belli genellemeler vardı. Açı geometrisi mevcut değildi. Bunun yanında Doğru geometrisi gelişmiş durumdaydı." Burada doğru geometrisi ile ölçü için; sadece doğruları kullanan ve açı kavramına başvurmayan bir geometri kastedilmektedir. Alan ve hacim hesapları, doğruların yardımıyla yapılmaktadır. En, boy, taban, dikme, köşegen, çap ve çevre, hem ölçülebilen, hem de ölçüde aracı rolünü kullanıyordu. Bugünkü ifadeyle; 45 derecenin, bazı trigonometrik özelliklerini de bildikleri anlaşılmaktadır.
         
Burada akla şöyle bir soru gelmektedir; Mısırlılar, ilkel geometri bilgisi diyebileceğimiz, ama bugünkü geometrinin temel bilgilerini, hangi ihtiyaçları sonucu ortaya koymuşlardır?
         
Başta da belirttiğimiz gibi Nil Nehrinin belli aralıklarla taşması sonucu silinen arazi hudutlarının tekrar belirlenmesi amacıyla bir ihtiyaç olarak doğmuştur. Mısır mezar lahitlerinin, piramitlerin, tahta işlerinin estetik bakımdan üstünlük sağlaması, hem çalışmaların ihtiyacından doğmuş ve hem de zaman için var olan ölçü tekniği ile basit de olsa bu ölçülerin hesaplama tekniğinin kısmen ileri derecede olması geometrinin temellerinin oluşmasında katkı sağlamıştır.
         
Zamanımıza kadar ulaşmış tabletlerin değerlendirilmesi sonucu Mezopotamya matematiği hakkında bilgiler elde edilmektedir. Bu tabletler bilim tarihinde; Susa, Vatikan 8512, Tell Halman, Plimpor 322, British Museum 85114 ve Elam tabletleri şeklinde adlandırılmıştır. Bugün, Thales Teoremi olarak bilinen teoremin varlığı, Thales'ten (batı felsefesinin ilk filozofu) 1700 yıl ve Öklid'ten 2000 yıl kadar önce biliniyordu. Aydın Sayılı; adı geçen eserinde, Susa tabletlerine dayanarak Thales Teoremlerinin nasıl ortaya çıktığını belirtir. Bu teoremlerin, Öklid tarafından bilindiğini ve Elementler adlı eserinin, 6. ve 8. teoremler olarak açıklandığını yazar. Kaynaklardan şu sonucu çıkarmaktayız. Bugünkü klasik geometri veya Eski Yunan geometrisinin temsilcileri olarak görülen, Thales, Pisagor ve Öklid'e dayalı geometri bilgilerinin temelinde Mezopotamya matematiği bulunmaktadır. Başka bir ifade ile Mezopotamyalılar tarafından, bu geometri bilgileri, eski Yunan matematikçilerinden, çok önceki yıllarda bilinmekte olduğu anlaşılmaktadır.


Thales’e atfolunan bilgiler, aslında, Mezopotamya geometrisine dayanmaktadır.  O bilgiler şunlardır:


1. Thales Teoremi:

    a. Benzer dik üçgenlerde (veya iki üçgenin açıları eşitse) kenar uzunlukları oranları eşittir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 4)

    b. Bir dik üçgende, dik açının tepe noktasından hipotenüse indirilen  dikmenin iki tarafında kalan iki üçgen birbirine ve asıl üçgene benzer üçgenlerdir (Öklid, Geometrinin Unsurları, VI, 8).


2. Çapı gören çevre açısı bir dik açıdır. Çap, çemberi iki eşit kısma böler.


3. Bir ikizkenar üçgende, taban açılarının eğimleri eşittir.


4. Thales, tıpkı Mezopotamya’da olduğu gibi, açı yerine, ancak dik açıya dayanarak, eğimleri göz önünde bulundurmuştur; ve, ‘eşit açılar’a ‘benzer açılar’ adını vermiştir; dairede ise çapı gören dik açıyı söz konusu etmiştir; ikizkenar üçgende ‘taban açılarının eşitliği’ yerine ‘taban açılarının eğimlerinin eşitliğini düşünmüştür.  Ters açıların eşit olduğunu fark etmiştir.


5. Birer kenarı ile ikişer açıları eşit olan üçgenler eşittir.

Kaynaklar geometri konusunda şu bilgileri de vermektedir. Çemberi de, ilk önce 360 dereceye Mezopotamyalılar'ın ayırdığı, bu geleneğin Mezopotamya menşeli olup Yunanlılara, Mezopotamyalılar'dan geçtiği bilinmektedir. Kesik piramidin hacminin ortaya konması ve ispatlanması geometride önemli bir yer tutar. Mezopotamyalılar, kesik piramit hacmine ek olarak, piramit hacim formülünü de bilmiş olmaları gerekiyor.
         
Babilliler, bugün Eski Yunandan beri Pisagor Bağıntısı diye adlandırılan teoremi biliyorlardı. M.Ö. 18. yüzyıla (Birinci Babil İmparatorluğu Devri) ait tablette, bugün Pisagor Bağıntısı dediğimiz : c2 = a2 + b2  formülüyle bağlı; a, b, c gibi sayılar üç sütun üzerine sıralanmış; birinci sütuna c ikinci sütuna a, üçüncü sütuna da, b gibi sayılar kaydedilmiş, c lere karşılık olan sayılar belirtilmemiş.  Pisagor'dan on iki yüzyıl önce, bu gibi sayılara ait özellikleri bilen Mezopotamyalılar'ın soyut aritmetik problemlerine dayanarak, sayılar teorisi esasları üzerinde zihni bir merak aşamasına varmış oldukları anlaşılmaktadır.
         
Mezopotamya geometrisi hakkında bir fikir vermek üzere, düzgün olmayan şekillerin alanlarının nasıl bulunduğu hakkında bir resim aşağıda göstermiştir.

Active Image
Mezopotamya'da, düzgün olmayan yüzeylerin
alanını hesaplama şekli

Eski Yunan matematikçilerinden Demokrit'te, gelişmiş bir geometri bilgisi görülmektedir. Ancak kaynaklar; Demokrit'in Eski Mısır matematiği ile temasta olduğunda hemfikirdir. Thales, ikizkenar üçgenin taban açılarının eşit olduğunu bildiği, ancak üçgenin iç açılarının 180 derece olduğu yolundaki bilgilerin Thales'e ait olmadığı anlaşılmıştır. Pisagor, geometri çalışmalarında, güney İtalya'da Kroton'da okullar açmış ve geometrinin gelişmesini sağlamıştır. Öklid, Elementler adlı geometri kitabını yazmakla ün yapmıştır. Bu eserdeki geometri bilgileri 2000 yıl kadar, fazla bir değişikliğe uğratılmadan, geometri derslerinde okutulmuştur. Bu eserin, bazı kısımlar günün ihtiyaçlarına cevap vermek için, 1700 yılından itibaren modernleştirilmiştir. Bugünkü geometride bilinen birçok bilgiler, Elementler'de vardır.
         
Kaynaklar; geometrinin önce Eski Mısır'da başladığını, Eski Yunanlılar'ın geometriyi Eski Mısır'dan öğrenmiş olduklarını belirtmektedir. Tarihçi Herodot (M.Ö. 485-425), geometrinin Eski Mısır'da başladığını ve arazi ölçüsü ihtiyacından doğmuş olduğunu belirtir. Aydın Sayılı : "Bunun gerçeğe uygun olduğunu, yani bölge bir menşeden başlayarak, geometrinin Eski Mısır'da bir ilim haline geldiğini kabul edebiliriz" der. Eski Yunanlılar'ın, matematikte ve özellikle geometri bakımından, Eski Mısırlılardan geniş şekilde yararlanmış oldukları anlaşılmıştır. Bu durumda, Eski Yunanlılara atfedilen geometri bilgileri hakkında şu görüşü belirtebiliriz;
         
Eski Yunanlılar, Eski Mısır yörelerini uzun yıllar dolaşmışlar. Bu yöreleri ilk dolaşan ve Eski Yunan'ın ilk bilgini (bilgesi) sayılan Thalestir (M.Ö. Miletes 640 ? -548 ?). Thales'ten sonra Pisagor'un ve Öklid'in bu yöreleri uzun yıllar dolaştıkları tarihi bir gerçektir. Bu bilginler, buralardan elde ettikleri geometri bilgilerini almışlardır. Bilahare de, geometriyi sistemli ispatlara dayanan müstakil bir bilim haline getirmişlerdir. Eski Yunanlılar'ın başarısı, geometriyi sistemleştirip, müstakil bir matematik dalı haline getirmiş olmalarıdır.
 
Matematiğin; aritmetik, cebir ve trigonometri dallarında kurucu denecek kadar eser ortaya koyan, 8. ile 16. Türk-İslam Dünyası alimleri; geometri dalında da, temel teşkil edecek, zamanı için orijinal ve kıymetini uzun yıllar koruyan eserler ortaya koymuşlardır.
         
İlk defa, cebiri geometriye tatbik etme fikri, ilmi metotlarla çalışan, bu devir matematikçilerinin eseri olmuştur. Bu durum, geometrinin çok kısa zamanda gelişmesini sağlamıştır.
         
Özellikle, Eski Yunan alimlerinin ortaya koydukları geometri konularını kapsayan eserler, uzun yıllar anlaşılamamıştır. Ne zaman ki; İslam alimlerinin bu eserlere yazdıkları yorumlamalar sonucu, Öklid ve çağdaşlarının eserleri ancak anlaşılabilirlik kazanmıştır. Bunlardan;

a) Harezmi ve Geometri
         
Matematikte yeni sayılabilecek bir dal olan, analitik geometri ile ilgili eserler, analitik geometriyi, 16. yüzyıl Fransız matematikçi Descartes'ın, 1637 yılında yazdığı La Geometri adlı eseri ile başlatırlar. Gerçekte, Harezmi tarafından 830 yılında Arapça olarak yazılan Cebri ve'l Mukabele adlı eserde, analitik geometriye ait ilk bilgiler ortaya konmuştur. Hatta, Ömer Hayyam'ın Cebir adlı eserinde de, analitik geometriye ait bilgilerin varlığı görülür. Analitik geometrinin Descartes'la ilgisini, şu şekilde belirtmek, gerçeğin tam ifadesi olur.
         
Descartes, kendisinden önceki yıllarda var olan analitik geometri bilgilerini toplayarak sistemleştirmiş ve kısmen de genişletmiştir.
         
Doğulu milletlerin din, dil, edebiyat, tarih ve kültürlerini inceleyen batılı bilgini Sigrid Hunke, analitik geometri konusunda aynen şunları yazar: ”Adedi çokluklarla (kemiyetlerle) geometrik çoklukların beraber yürütülmesi gerektiğine dair kesin fikir de ilk olarak, İslam ilim sahasında rastlanır…”  Rönesansımızın üstatları, onun için, Yunanlılar değil, bilakis İslam Dünyası oldu.
         
Denebilir ki; cebrin geometriye tatbikatı demek olan, analitik geometriyi münferit bir geometri dalı haline getirme metotlarını ilk olarak Harezmi tarafından ortaya konmuştur.

 

b) Sabit bin Kurra ve Geometri 

         
Trigonometrinin Avrupa'da duyulup dağılmasına etkisi olanların başında gelen Sabit bin Kurra, geometri konularındaki çalışmaları ile de adını zamanımıza kadar sürdürmüş olan ünlü matematikçilerimizden biridir. Konikler kitabı ile Apolonyos'a şerh yazdı. Huneyn bin İshak tarafından Öklid'in Elementler adlı eserine yazılan şerhi, ilaveler yaparak düzeltti. Menalaus, Apolonyos, Fisagor, Archimed, Öklid ve Theodosus'un eserlerini Arapçaya şerh etmekle, geometriye, zaman için orijinal olan, yeni bilgiler kazandırmıştır.

Georges Rivoire şunları yazar : " ...Cebirin geometriye uygulamasını, müslümanlara borçluyuz. Bu da, 900 yılında vefat etmiş Sabit bin Kurra'nın eseridir."

c) Ebu'l Vefa ve Geometri


Trigonometri çalışmaları dışında, düzgün çokyüzlüler konusuyla da uğraşmıştır. 7 ve 9 kenarlı düzgün çokgenlerin yaklaşık çizimlerine dair yeni bir geometrik yöntem ortaya koymuştur. Kısmen Hint modellerine dayalı olarak ortaya koyduğu geometrik çizimleri, geometri bakımından önem taşır. Ebu'l Vefa'nın çizim geometrisine ait ortaya koyduğu çalışmalarına dair bir fikir verebilmek için üç ayrı problemini örnek olarak belirtelim. Bunlar:
    
1) Pergelle daire içine, açıklığını bozmadan kare çizmek.
2) Verilen bir doğru parçasını, pergel yardımıyla eşit parçalara bölmek.
3) Verilen bir kare içine, eşkenar bir üçgen çizmek.
         
Matematik tarihi İncelendiğinde; Ünlü matematikçilerden, Thales, Öklid, Pisagor'un hazırladıkları eserler ve bu eserlerinde ortaya attıkları teoremler, Harezmi, Ömer Hayyam, Sabit bin Kurra, Beyruni, Nasirüddin Tusi'nin yazdıkları şerhler ve ortaya koydukları görüşler sonucu, geometri yeni boyutlar kazanmıştır.

Batı Avrupa’nın uyanmasından önceki yüzyıla kadar Yunan geometrisini tam olarak Müslümanlar anlamıştır. Yunan klasiklerini, geometrilerini, fen bilimlerini ve felsefelerini Arapça’ya çevirmişlerdir. Okullaşma olmadığı için gelecek gençlere bu çeviriler öğretilmemiş, bu kitaplar sadece neredeyse bir süs olarak sarayda kalmıştır. Yaptıkları hizmet, kaybolmaya yüz tutmuş Yunan klasiklerini, matematiklerini ve düşüncelerini Arapça çevirileriyle Avrupaya iletmişlerdir.

İ.Ö.1100 yıllarında yazıldığı sanılan Çinlilerin ünlü Nine Sections (Dokuz Bölüm) kitabında dik açılı üçgen ve ispatsız olarak Pisagor Teoremi vardır. Daha sonraki Çin geometrilerinde ölçümleri içeren çok zeki buluşlar vardır. Yine geometrik görünümle Pisagor teoreminin ispatı yapılmıştır. Bu geometrik şekille verilen kitabın İ.Ö. 2000 yıllarında yazıldığı sanılıyor.

Hintlilerin yerli geometrilerinde ise matematiksel ispat yoktur. Daha çok görsel ve deneysel ölçülere dayanan kuralları vardır. Bunlar da o kadar ileri bir geometri oluşturmaz. Bin yıllık bir süre boyunca kullanılan Yunan geometrisi ise daha çok görseldir. Eski Roma geometrisi daha çok kullanım alanlarına yöneliktir.

Avrupa’daki karanlık çağda biri Boethius’un (510) diğeri de Öklid’in (İ.Ö.300) kitapları vardır. Bunlardan sonra Gerbert’in (1000) ve Fibonacci’nin (1202) geometrileri sayılabilir ama bu geometriler İskenderiye geometrilerinden ileri bir düzeyde değildi. Öklid’in geometrisinin ardından yavaş yavaş geometri ürünleri ortaya çıkmaya başladı.17.yüzyılın başlarında analitik geometri ve 1639 yılında da Desargues’ın (1593-1662) izdüşüm geometrisi basıldı. Analitik geometri Descartes (1596-1650) ve Fermat (1601-1665) tarafından aynı dönemlerde yapıldı. Fermat yaptığı çalışmaları yayınlamadığı için analitik geometrinin bulunması onuru Descartes’e verildi.

Analitik geometri kısaca geometri ile cebir arasındaki ilişkidir diye söyleyebiliriz. Geometri ile cebir arasındaki ilişkiyi ilk kez Descartes çıkardığı için büyük bir matematikçi olmuştur. Descartes (1596-1650) her türlü düzlem geometri probleminini bir denklemler dizisine indirgedi. Bu dönemden sonra, sayısal koordinatlara dayanan bir gösterim biçimi kullanıldı ve şekilleri fonksiyonlar olarak ele aldı.Desargues’ın iz düşüm geometrisi matematikçilerin çok dikkatini çekmiş ve 19.yüzyılda çıkacak olan geometricilere coşku ve esin kaynağı olmuştur.
Analitik geometri bulunduktan sonra Apollonius’un (İ.Ö.262-190) konikleri sentetik ve analitik olarak gözden geçirilmiştir.Sentetik geometrinin tüm problemleri bir kezde analitik olarak kanıtlanmıştır.

Eukleidesçi olmayan geometrilerin geliştirilmesi, bu bilim dalında yeni çeşitlenmelere yol açtı. Bir noktadan bir doğruya çizilebilecek paralellerin sayısına (Eukleidesçi geometride yalnızca bir olmasına karşılık, Eukleidesçi olmayanlarda sıfır veya sonsuz sayıda) dayanan bu geometriler, uzaklık fikrini tartışma konusu yaptı. Ortak yargının tersine, iki nokta arasındaki uzaklık evrensel bir veri değildir ve söz konusu noktaların bulunduğu uzayın özelliklerine bağlıdır.

Erlangen Programı (1872) olarak adlandırılan ünlü çalışmasında Felix Klein, bu çeşit yaklaşımları sınıflandırmasını önerdi. Her geometri türüne, değişmezliğini benimsediği kavramlarla nitelenen bir dönüşümler grubu eşlik etti. Modern cebirden doğan bu grup kavramı, bu dönemden sonra geometride büyük bir önem kazandı. XVII. yy.'dan bu yana geometriyi, biri çeşitlendirici, diğeri birleştirici olan, çelişkili ve tamamlayıcı iki eğilim biçimlendirdi. Geometri, kavramsal katkılar ve matematiğin diğer alanlarında geliştirilen yöntemlerle zenginleşerek, önerilen bağıntılara bağlı, yeni araştırma alanları oluşturdu.

Geometrinin kilometre taşları şöyle sıralanabilir:

İsa’dan önce Thales, Euclides, Apollonios, Archimedes ilk akla gelenlerdir. Daha sonra Descartes (1637), Desarques (1639), Lazer Carnot(1803), Jean Victor Poncelet (1822), Janos Bolyai (1823), Michei Chasles (1837), N.Lobaçevsky (1840), Bernard Riemann (1867), C.Felix Klein (1872), DavidHilbert (1899) ve Albert Einstein (1921)olarak sayılabilir.
 

Kaynaklar:

Geometrinin Tarihsel Gelişimi-Gültekin Buzkan
(Ege Üniversitesi Merkez Kütüphanesi matematik bölümü kitaplığı
Lütfi Göker’in Fen bilimleri tarihi adlı eseri, Aydın Sayılı’nın Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda,matematik astronomi ve tıp eseri)
 
http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/~history/Mathematicians/Euclid.html
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html
http://www.chuckiii.com/Reports/Mathematics/Euclid.shtml
The Obsecurity of the Equimultiples – Paulo Palmeri (sayfa 556)
www.mydoom.org--Geometri nedir?
www.wikipedia.com--History of Geometry
http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/WhatIsGeometry.shtml


1.    G. D. Birkhoff and R. Beatley, Basic Geometry, AMS Chelsea Publ., 2000, 3rd edition
2.    D. A. Brannan, M. F. Esplen, J. J. Gray, Geometry, Cambridge University Press, 2002
3.    J. N. Cederberg, A Course in Modern Geometries, Springer, 1989
4.    D. Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court, 1999
5.    B. Jowett, The Dialogues of Plato, Random House, 1982
6.    F. Klein, Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover, 2004
7.    D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, Dover, 1988
8.    C. Pritchard (ed.), The Changing Shape of Geometry, Cambridge University Press, 2003
9.    S. Roberts, King of Infinite Space, Walker & Company, 2006
10.    S. Schwartzman, The Words of Mathematics, MAA, 1994 www.matematikgeometri.com

   

 

GEOMETRİNİN TARİHÇESİ              (lise öğrencileri  kullanabilir)

Uzayın ve uzayda tasarlanabilen biçimlerinhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif kurallara uyularak incelenmesini konu alan matematik dalı. Yunanca «ge»http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif yer ve «metron»http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif ölçüden.

Geometri Nil kıyılarında doğdu. Bu ırmağın düzenli aralıklarla taşması
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif tarlaların sınırlarını siliyorhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif Mısırlıları güç sorunlarla karşı karşıya bırakıyordu: çünkü tarlaların sınırlarını yeniden çizmekhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif herkese kendi yerini vermekhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bunun için de tarlaların yüzölçümünü hesaplamakhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif nirengiler dikmekhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif kısacasıhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif geometri yapmak gerekiyordu.

Doğru Kavramının Anlaşılması İçin

insanlara
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif yer ölçümüne ilişkin somut sorunları çözümleme olanağını veren geometridenhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif giderek soyut bir geometri doğdu. Böylece aynı kavramın değişik durumlara uygulanabileceği anlaşıldı. Sözgelimihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif deniz üzerindeki ufuk çizgisiyle çekülün gergin ipi arasında hiç bir maddi ortaklık yoktur; ama ikisi de geometride doğru adı verilen kavramı belirtir; doğru kavramıhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif ancak bunun gibi somut örneklere bakılarak anlaşılabilecek bir kavramdır.

Bir kâğıdın üstüne çizilen düz bir çizgi
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif doğru hakkında yaklaşık bir fikir verir. Oysa doğruhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif sınırlı değildir (çizgi ise yaprağın kenarında biter) ve doğrunun kalınlığı yoktur (çizginin ise ne kadar ince çizilmiş olursa olsunhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bir kalınlığı vardır). Bunun gibihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bir topahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bir küreye bakılarak küre kavramı hakkında bir fikir sahibi olunabilir.

Eukleides'in Aksiyomları ve Teoremleri

İskenderiyeli bir Yunan bilgini olan Eukleides
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif M.Ö. III. yy .da geometri hakkında ilk mükemmel kitabı yazdı. Eukleides o zamanki kitaplarında (bunlar somut sorunların çözümünü gösteren basit «reçete» derlemeleriydi) farklı bir açıdan bakarakhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif öne sürdüğü sonuçlarıhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif kesin kanıtlara başvurma yoluyla kanıtlamak istiyordu.

Bunun için önce
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif sezgiye dayanan birtakım kavramlar (noktahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif doğruhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif düzlem) kabul etti (aksiyom)http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif sonra doğru sandığıhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif ama doğruluğunu kanıtlayamadığı birtakım gerçekleri belirledi (bütünhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif parçadan daha büyüktür; üçüncü bir niceliğe eşit olan iki nicelik birbirine de eşittir) [postulat]. Bu aksiyom'larla postülat'lara dayanılarak geometri teorem'leri kurulur.

Kuşkusuz Eukleides
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif aksiyomlarının doğruluğunu kanıtlayamazdıhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif ama ona ve çağdaşlarına göre bunlarhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif tartışma götürmez gerçeklerdi. Sözgelimihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif dik açı konusunda kesin bir yargıya varabiliyorduhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif çünkü gerçek hayattahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif deniz üzerindeki ufuk çizgisiylehttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif elindeki bir çekülün yaptığı dik açıyı gözleriyle görebiliyordu.

Eukleides geometrisi
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif üstünde yaşadığımız dünyayı anlamak için mükemmel bir araçtır; bu geometrihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bilim ve tekniğin ilerlemesinde önemli bir etken olmuştur.

Eukleides Dışı Geometriler

Eukleides aksiyomlarının kesinliği
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif XIX. yy .dan itibaren tartışılmağa başladı. Alman matematikçisi Riemann ve Rus matematikçisi Lobaçevskihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif Eukleides aksiyomlarının tam karşıtı olan aksiyomlardan işe başladılar. Böylece ilk bakışta hiç bir pratik yararı yokmuş gibi görünen değişik geometriler (Eukleides dışı geometriler) doğdu. Ve bu yeni geometriler o zamandan beri birçok alanda (nükleer fizikhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif astronotik v.b.) işe yaradı (Einstein bunlar sayesinde bağıllık kuramını kurabildi).

Cebir tekniklerinin geometriye uygulanması
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif noktaları sayılara veya koordinatlara bağlayarak bütün eğrileri hesaplamak ve saptamak olanağı sağlayan analitik geometri'yi doğurdu (Descartes).

Rönesans Ressamları ve Tasarı Geometri

Tasarı geometri'de
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif uzay geometrinin şekilleri veya öğelerihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif tam ve aslına uygun biçimde bir düzleme (üzerine şekil çizilen kâğıt) aktarılır. Rönesans'ın büyük ressam ve mimarları tasarı geometriden yararlanmışlarsa dahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif onu gerçek bir matematik sistemi haline getiren (temel geometrihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif kaba perspektif)http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif matematikçi Monge olmuştur.

İzdüşüm geometrisi (bir şeklin herhangi bir noktasını esas alarak tümünü bir düzleme izdüşümle aktarmak)
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif resim ve süsleme sanatı için de çok önemlidir. Ama asıl yerihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif aksiyomları ve ilişkileri bakımından izdüşüm geometrisihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif matematiğin bir dalıdır.

Saf (Katıksız) Geometri

Geometride
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif her yerde geçerli kesin belirlemeler giderek azalmaktahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif başlangıç aksiyomları artık sadece belirli bir geometri için doğru sayılmaktadır. Burada gerçek olan başka bir yerde yanlış olabilir. Her şeye rağmenhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif maddi gerçeklerin incelenmesinde uygulamalı geometrinin sağladığı olanaklar sonsuzdur.

Yüzölçümü hesaplanmak istenen bir tarlanın çizgisel taslağından tutun da gökcisimlerinin yörüngelerinin saptanmasına
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif haritalarahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif planlarahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif coğrafyada kullanılan ölçeklerehttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif makine yapımınahttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif mimarlığa varıncaya kadarhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif geometri bilgisinin mutlaka gerekli olduğu alan pek çok ve geniştir.

Bununla birlikte
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif matematik çalışmaları daha ileriyihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif uzak geleceği de göz önünde tutar. Hemen yararlanma kaygısına kapılmadan yapılan matematik araştırmalar saymakla bitmez. Bu çalışmalarhttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif doğruluğu mevcut koşullara bağlı olmayan kusursuz örnekler yaratma amacı güder. Saf geometrinin esası budur.

Thales

Ünlü bir bilgin ve filozof olan (Yunanistan'ın Yedi Bilge'sinden biridir) Miletoslu Thales (M.Ö. 640-562)
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif düzlem geometrinin ilk teoremlerini hazırladı. Thaleshttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bir yapının yüksekliğinihttp://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif onun gölgesini ölçerek hesaplayabiliyordu.

Pithagoras

«Birdik üçgende
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif hipotenüs (dik açının karşısındaki kenar) üzerine kurulan kare öteki iki kenar üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir»: bu teoremi M.Ö. VI. yy.da yaşamış ünlü Yunan filozof ve matematikçisi Pithagoras bulmuştur. Çarpım tablosunu ve telli çalgılarda gamı icat eden de odur.

Monge

Tasarı geometrinin yaratıcısı ve analitik geometrinin büyük kuramcısı Gaspard Monge (1746-1818)
http://www.izafet.com/images/smilies/smilev.gif bütün XIX. yy. matematikçilerinin eşsiz ustasıdır.
                       www.matematikgeometri.com


UZUNCA GEOMETRİ TARİHİ          

(bu yazı ortaokul ve lise öğrencileri için ‘Öklid Dışı (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler’ alt başlığına kadar uygun.Ondan sonrası ünv. ve daha üst seviye)

Bilim adamları ve öğretmenler meslek olarak seçtikleri alanın geçmişine yönelik genel kültüre sahipseler kendilerini daha yetkin hissederler, daha öz güvenli olurlar; araştırma ve öğretimde daha faydalı olacakları gibi gelecekte yapılabilecekleri de daha kolay sezmeğe ve görmeye başlarlar. Bu nedenle konuşmamın ilk kısmını bu konuya ayırdım. Bilindiği gibi bilim tarihi içinde matematiksel gelişmelerin yeri ve önemi çok büyüktür. Matematiğin orijininde de iki temel alan vardır: ARİTMETİK ve GEOMETRİ. Burada tarih boyunca geometrideki buluş ve gelişmeleri kronolojik bilgilerden bir derleme biçiminde vereceğiz.

İnsanoğlunun dünyada oluşumu M.Ö. 2 000 000 lu yıllar olarak hesaplanmakta ve kabullenilmektedir. İlk insanların uzun asırlar, hatta uzun milleniumlar boyunca çok ilkel bir yaşam sürdürdükleri bilinmektedir. Ancak M.Ö 50 000 li yıllarda sayma belirtilerine rastlanmış izleyen milleniumlar içinde (M.Ö. 25 000 li yıllar) taşlara işlenmiş primitif geometrik şekiller tespit edilmiştir. (Bu dönemin tarihte Kaba Taş Çağı olduğunu hatırlayalım!). Daha sonra tarım sayesinde yerleşik yaşam yaygınlaşıyor, Maden Çağında (M.Ö. 4000 li yıllar) ilerleme ve medenileşme sürüyor. Gerçek gelişme yazının ve rakamların icadı (Mezapotamya da M.Ö. 3000 ler) ile oluyor. Mezapotamya da SÜMERLER, onları izleyen BABİL ve AKADLAR (M.Ö. 3500-2000 periyodunda) geometri adına şunları biliyorlardı:

Üçgen ve çokgenlerin ALANLARININ hesaplanması

Pisagor Teoremi (M.Ö. 1600-1900 arasında yazılan Plimpton tabletinde Pisagor üçlülerini kapsayan tablolar var. İspata rastlanmasa bile Pisagordan en az bin yıl önce bu teoremi biliyorlardı.)

Bir çok basit geometrik cismin hacmini veren formüller

Kesik kare piramidin hacmini veren formül

"Çapı gören çevre açı diktir" teoremi (Bu ifade de Thales Teoremi diye bilinir. Oysa Thales'den yaklaşık 1000 yıl önce biliniyor).

Ne Mezapotamyalılar ne de biraz sonra söz edeceğimiz eski Mısırlılar AÇININ ÖLÇÜLMESİNİ tam olarak geliştiremediler. Ancak yapı kirişlerinin eğimi hesabında KOTANJANTA benzer bir kavram geliştirmişlerdi. π yerine yaklaşık değerler kullanılıyordu.

Geometrinin orijinin Mısır olduğuna ilişkin yaygın fakat YANLIŞ bir kanaat (ve birçok kaynak!) vardır. Oysa Mısırdaki matematiksel gelişmeler, Mezapotamyadakileri yaklaşık 500 yıl sonradan izlemiştir. (Bu yanlış bilginin kaynağı Mezapotamyadaki BABİL TABLETLERİNİN şifrelerinin çok geç, ancak 130 yıl önce çözülmeye başlamasıdır). Mısırlılar bu kavramlar dışında

GEOMETRİK EŞLİK kavramını kullandılar

M.Ö. 2800 lerde BÜYÜK PİRAMİDİ inşa ettiler [kare piramidi, (taban çevresi/yükseklik)≈2π, Güneş ışınlarının hareketine göre şifreli iç yapısı gibi önemli özellikleri var].

İnsanoğlu yazının icadından hemen sonra tekerleği icat edince (M.Ö. 3000) ulaşım ve ticarette ulaşılan kolaylıkların sağladığı gelişmeler sayesinde π(pi) sayının varlığı ile karşılaştı. Çember, daire, kare, silindir gibi basit geometrik şekillerle ilgili olan bu harika sayı tamamen geometri orjinlidir. (r yarıçaplı çember için,
=çevre/2r= Π alan/r nin karesi). Π üzerinde Mezapotamyalılar, Mısırlılar, Çinliler, Hintliler, Helenler, ve hatta 1600 lü yıllardan itibaren bir çok büyük matematikçi uğraşmışlardır. İrrasyonelliği 1767 J. F. Lambert tarafından ve transandant bir sayı olduğu çok sonraları (1882 de Alman matematikçi F. Lindemann tarafından) ispatlanmıştır.

Geometrideki gelişmeler, daha sonra Batı Anadolu da devam etmektedir. Grek genişlemesi ile Mısır ve Mezapotamyadan öğrenilen bilgiler Miletli Tales (M.Ö. 595) ve hemşerisi Pisagor (M.Ö. 540) tarafından işlenmiş ve geliştirilmiştir. Tales ve Pisagor'un DEDAKTİF GEOMETRİ çalışmalarından hiçbir belge bugüne ulaşmamıştır. Ancak özellikle Pisagor öğrendiklerini ve bildiklerini bir çeşit okul kurarak skolarlarına aktarmıştır. Bu dönemde İSPATLI GEOMETRİye geçilmiştir. Daha sonra gelişmeler, Trakya, Mora yarımadası ve İtalya'ya yaygınlaştı. Cetvel ve Pergel yardımıyla;

Bir çemberinin alanına eşit alanlı kare çizmek

Açıyı üçe bölmek

Küpün hacmini iki katına büyütmek

gibi klasik problemler ve benzerleri bu dönemde (M.Ö. 4. asırda) çalışılmıştır. (bu problemlerin izleyen asırda cebirsel eğriler yardımıyla çözüldüğü biliniyor). Geometri o kadar önem kazanmıştı ki geometriye doğrudan hiçbir katkısı olmayan Platon kurduğu okulun kapısına BURAYA GEOMETRİ BİLMEYEN GİREMEZ yazısını koydurdu. Sonra Eudemus (M.Ö. 335) GEOMETRİ TARİHİni yazdı, Aristeaus (M.Ö. 320) KONİKLER konusunu ayrıntılı inceledi.

M.Ö. 323 de Büyük İskender'in ölümü ile üçe parçalanan Roma İmparatorluğunun Mısır kesiminde I. Ptolemi döneminde bilimin yeniden şahlanmasını sağlayan gelişmeler oldu. İskenderiye'de tamamen serbest eğitim veren okullar kuruldu. Öklid M.Ö. 300 lerde ELEMENTLER adlı eserleri yazdı. Bu eserler üzerine çok şey söylenebilir. Bugün bile ilköğretim ve liselerimizde okutulan bilgilerimizin hemen hemen tamamı bu eserlerde vardır. Tales, Pisagor ve Pisagoryanlarca ispat edilmiş geometrik ifadeler bu dönemde mükemmelleştirildi. Plato okulundan yetiştiği sanılan ve iyi bir yazar olan Öklid'in adı bu eserlerle yaşamaktadır. Daha sonra M.Ö. 140 da Hiperkus, ilk düzenli TRİGONOMETRİ eserini yazdı, Heron birinci yüzyılda bazı formüller geliştirdi ve geometriye dayalı birçok icatlar yaptı. Pappus M.S. 320 de Pappus teoremini de kapsayan KOLEKSİYONU yazdı. (Pappus teoremi altıgenlerle ilgili bir özellik olarak ispatlanıyor, ama bugün Projektif geometride önemli bir role sahip bir aksiyom olarak bile kullanılmaktadır).

1143 yılında ELEMENTLERin batı dillerine çevrildiği ve izleyen dönemlerde yavaş yavaş okullarda sistematik olarak okutulduğu görülüyor. 1635 de Cavalieri GEOMETRİ adlı eserini yayınlıyor, 1637 de Descartes ANALİTİK GEOMETRİyi keşfediyor. 1639 ve 1640 da sırayla Desargues ve Pascal bugün kendi adlarıyla bilinen teoremlerini de kapsayan eserlerini yayınlıyorlar. 1678 de Ceva TEOREMİnin ispatı veriliyor.

1670 de HİPERBOLİK GEOMETRİNİN ortaya atılışı, 1794 de Legendre'nin GEOMETRİNİN ELEMANLARI, 1801 de Gauss'un PARALELLİK kavramı üzerine çalışmaları, 1826 da Poncale ve Plucker'in geometride DUALLİK İLKESİ, 1827 de Mobius, Plucker ve Feurbach'ın HOMOGEN KOORDİNATLARI işleyişleri gerçekleşiyor.

1822 de Poncale'nin bugün kendi adıyla anılan teoremlerinide kapsayan DENEMELER adlı eseri yayınladı. Kazan üniversitesinden Lobacevski'nin 1829 da yayınlanan çalışmaları ve bu konuda daha önce aynı sonuçlara ulaştığı ve ispatlar anlaşılan Macar Bolyai'nin çalışmaları ile ÇOK PARALELLİ (=hiperbolik) GEOMETRİLERİN VARLIĞI görüldü.

1843 de 4-boyutlu uzayın vektör cebri ile ilgili olarak Hamilton KUATERNİYONLARI keşfedildi ki bu kavram bugün en ilginç ve somut (Dezargsel fakat Pappussel olmayan) projektif düzlemlerden birini inşa etmekte kullanılmaktadır.

Daha sonraki yıllarda ses getiren eserler olarak 1847 de Von staudt'un GEOMETRİ DER LAGE'si, 1854 de Riemann'ın HABITATIONSCHRIFT'i, 1872 de Klein'in yayınları ve son olarak 1889 da Hilbert'in GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ'si görülüyor. Bu son eser çok önemlidir onun üzerine daha sonra konuşulacaktır.

Düzenli geometrik şekiller tarihsel olarak nerelerde görülmektedir sorusunu yanıtlayarak bu kısmı bitirelim: Gelişme ve medenileşmeye başlayan toplumlarda ilk düzgün geometrik şekiller, sırayla, tarla ve bağlar gibi bölünerek işlenen arazi parçalarında; tapınaklar, sinagoglar, katedral-kilise ve cami gibi toplu ibadet yerlerinde; su kanalları, köprüler, kervansaraylar gibi ulaşımla ilgili yapılarda; han, kral, padişah ve imparator sarayları, Türbeler, Firavun Mezarları ve şehir surları gibi yapılarda; ve günümüzde her türlü mimari eser ve çok sayıda modern teknik araçlarda görülmektedir.

Öklid Dışı (non-Euclidean@Öklidyen Olmayan) Geometriler

Kısalığı sağlamak için izleyen iki kısımda sadece düzlem geometri üzerinde durulacaktır. Öklid düzlemi yada kısaca düzlem denilince, herkesin anlayacağı bir dille söylersek, her doğrultuda sınırsız uzayan düz pürüzsüz yüzey kastedilir. Noktalar ve doğrulardan oluşan düzlemde nokta ve doğrularla ilgili bazı ifadelerin geçerlilikleri ispata gerek duyulmadan kabul edilirler. AKSİYOM denilen ve doğal olarak sağlandığı varsayılan bu ifadelerin ispatı (aşikar olduğundan) mümkün değildir. Geometri de kabullanilen aksiyomların SONUÇLARI incelenir. Öklid Düzleminin Aksiyomları EK-1 de verildiği gibidir.

Zaman içinde Öklid'in V. POSTULAT'ı Playfair aksiyomu adıyla daha kısa ve özlü olrak; düzlemde bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen bir tek paralel doğru çizilebilir biçiminde ifade edilmiştir. Öklid dönemi ve öncesinde, bu ifadeye "kesin olarak geçerli" denilemediği, yani şüphe edildiği, içindir ki aksiyom olarak değil, postulat olarak ifade edilmiştir. Gerçekten de GAUSS da dahil bir çok büyük matematikçiler bu ifadeyi ispatlamaya çalışmışlardır. Ancak 1820 lerin sonunda Bolyai ve Lobacevski V. Postulatın diğer aksiyomların sonucu olmadığını; bu postulat dışındaki bazı Öklid Aksiyomlarıyla birlikte

H:Bir doğruya dışında verilen bir noktadan geçen iki (yada daha çok sayıda) paralel doğru çizilebilir

ifadesi alınarak yeni bir geometri oluşturulabileceğini gösterdiler. Böylece hiperbolik geometri, dolayısıyla ÖKLİD DIŞI GEOMETRİ kavramı ortaya çıktı. Öklid aksiyomlarını sağlayan bir tek düzlem varken Bolyai-Lobacevski aksiyomlarını gerçekleştiren bir çok reel model geliştirilmiştir. Bunların bir kaçını belirtelim:

Taksi Düzlemi

Klein Modeli

Maksimum Düzlem Modeli

Poincare Üst Yarı Düzlem Modeli

Poincare disk Modeli

......

Gauss ve Riemann'ın çalışmaları ile hiperbolik geometrideki gelişmeleri değerlendirerek

P : Farklı iki doğru bir tek noktada kesişir

ifadesini ve bazı Öklid aksiyomları ele alınarak PROJEKTİF GEOMETRİ (ve genelde Eliptik Geometri) geliştirildi. Üstelik, sonsuz çoklukta projektif düzlem bulundu. Bugüne kadar bu konuda milyonlarca araştırma (makale), yüzlerce kitap yazıldı ve hala çözülmeyi bekleyen çok sayıda önemli problemler vardır. Böylece V. Postulat, H ve P nin hepsinin ayrı ayrı geçerli olduğu geometriler ortaya çıktı.

Öklid'in elementlerindeki aksiyomlarda var olan bazı belirsizlikler ve eksiklikler, uzun yıllar boyunca bilinmesine karşın, aynen kullanılmışlardır. Ancak Hilbert 1889 da çağının bilgileriyle Öklid düzlemin aksiyomlarını yeniden düzenlemiştir. GRUNDLAGEN DER GEOMETRİ adlı eserdeki bu aksiyom sistemi EK-2 de verilmiştir.

Artık Öklid düzlemi için, tüm matematik dünyasınca "mükemmel" olarak değerlendirilen bu aksiyom sistemi (Hilbert Düzenlemesi) geçerlidir denilebilir. Ancak 20. yüzyılda çağdaş matematik bilgileri göz önüne alınarak daha kısa ve daha rafine bir aksiyom sistemi oluşturulmuştur. F. Krause'nin TAXICAB GEOMETRY adlı kitabından aldığım ve son zamanlarda Öklid düzlem geometrisi (SMSG geometrisi dahil) işleyen birçok eser de kullanılan Birkhoff'un METRİK AKSİYOMLARININ bir modifikasyonu olan bu aksiyom sistemi EK-3 de verilmiştir.

Bu aksiyom sistemlerinin karlılaştırılmasını ilgilenenlere bırakarak konumuzu biraz değiştirelim.

3. Öklid Dışı Geometri Anlayışında Değişiklik

Tarihsel olarak, paralellik aksiyomunu sağlamayan her Geometri Öklid dışı bir geometri olarak bilinmektedir. Fakat artık Hilbert (veya eş anlamlı olarak Birkhoff) tarafından verilen aksiyomlardan "en az birini sağlamayan bir geometri Öklidyen olmayan bir geometridir" anlayışı yerleşmiş bulunmaktadır. Örneğin, Taksi geometri, KRAUSE düzenlemesindeki paralellik aksiyomu dahil 12 aksiyomun hepsini sağlayan fakat sadece KAK
SadÜçgenlerde Eşlik) Aksiyomunu sağlamayan bir geometridir. Dolayısıyla Öklidyen olmayan geometriler spektrumu oldukça büyük hale gelmiştir. Bu konuda daha başka örnekler, projektif, hiperbolik veya metrik geometrilerden kolaylıkla hemen verilebilir.

Geometri ve Öklid Dışı Geometrilerin Öğretimdeki Yeri ve Önemi

Olayların algılanmasında resim, fotoğraf, grafik gibi şekillerin önemi yadsınamaz. Bir anlamda şekil bilgisi de demek olan geometri matematik öğretiminde yerine hiçbir şey konulamayacak seçkin bir role ve öneme sahiptir. Okuttuğum bir çok derste öğrencilerime şunu tekrar tekrar söylüyorum: Matematikte hiçbir kavram yoktur ki uygun bir şekille anlatılamasın. Eğer bir konuyu iyi biliyorsanız onu uygun bir şekille açıklayabilirsiniz. Şekille açıklayamadığınız yani, geometrik yorumunu yapamadığınız bir konuyu iyi bilmiyorsunuz demektir. Dilerseniz bana bu konuda herhangi bir matematik kavramını sorabilir ve geometrik açıklama isteyebilirsiniz! Bu sebebledir ki son yirmi beş yıldaki tüm derslerimde anlattığım her konuda temsili şekiller çizmeği alışkanlık haline getirdim. Çünkü görmek anlamayı kolaylaştırır (İngilizce'de "anlıyorum" anlamında da "görüyorum" ifadesinin sıkça kullanılması boşuna değil!). Ülkemizde ilk ve orta öğretimde (hatta birkaçı hariç üniversitelerimizde) Öklid geometrisi ve onun uzantıları olan afin uzaylar ve differensiyel geometri konuları incelenir. Öklid dışı geometrilerin de sadece varlığından bir kaç cümle ile söz edilir. Oysa benzerlik, farklılık, aykırılık ve zıtlığın öğretimdeki büyük rolü inkar edilemez. Çünkü kötüyü bilmeden iyiyi, çirkini bilmeden güzeli, kısa kavramını belirlemeden uzun kavramını anlamlandıramazsınız. Yine birbirine çok benzeyen iki şeyi ayırabilmek için farklılıklarını ortaya koymak gerekir. Gelelim Öklid dışı geometrilere. Kanatimce Öklid dışı geometrilerin sadece varlığından söz edip bırakmak oldukça sakıncalıdır. Nitekim, ABD ve bazı uzak doğu ülkelerinde orta öğretim programları Öklid dışı geometrilerden bazı örneklemelerle -basitleştirilerek- donatılmaktadır. Öğretmen yetiştiren öğretim kurumlarında Öklid dışı geometriler ve Elementer projektif geometri mutlaka okutulmaktadır. 1980 öncesi yıllarda "Eğitim Enstitüsü" adı altında öğretim yapan okulların programlarında elemanter projektif geometri dersi vardı ama okutacak öğretmen yoktu. Bugün ilk ve orta öğretimde görev yapan öğretmenlerimizin yüzde doksan dokuzunun yukarıda saydığım konularda yetersiz ve donatımsız olduğu bir gerçektir. Bunun sebebi öğretmenlerimiz değil fakat yeterli kadrolara sahip olmayan yüksek öğretim kurumlarımız ve bizleriz. Konuşmacınız bunun bilincine ancak ellili yaşlarında ulaşmıştır ve bu boşluk ve eksikliği kendi çapında gidermek için bazı gayretler içindedir. Şu anki tebliğ de bu düşüncenin eseridir.

Burada şu sorular sorulabilir: Öklid dışı geometrilerin orta öğretimle ilgisi nedir? Bunlar hangi kapsamda ve nasıl anlatılabilir? Mevcut eksiklikler nasıl giderilir?

Soruların kısa cevabı kanaatimce şöyle özetlenebilir:

Son sorudan başlarsak, eksikliklerin giderilmesi için öğretmen yetiştiren yüksek öğretim kurumlarında Öklid geometrisi ve Öklidyen olmayan geometrilerin okutulması gerekir.

Son elli yılda artık EK-3 de sunulan (Metrik yaklaşımlı) aksiyom sistemi kullanılmaktadır. Oysa gerek taksi geometri, gerek maksimum metriği ile geliştirilen geometride Öklid düzlemi ile aynı nokta ve doğru kümeleri kullanılmakta, açılar da aynı yolla ölçülebilmektedir. Bunların her ikiside 13 aksiyomdan 12 tanesini sağlamakta sadece Kenar-Açı-Kenar (KAK) aksiyomununda aykırılık göstermektedir. Sonuç olarak KAK aksiyomunun da Öklidyen geometri için kritik ve belirleyici aksiyom olduğu görülmektedir. Buradaki önemli husus, Öklidyen geometride birçok başka kavramlarıda belirlemekte ve tanımlamakta kullanılan UZAKLIK kavramının tanımından ortaya çıktığının öğretici tarafından iyi bilinmesidir. O, öğrenciye pedagojik nedenlerle bu yeni modelleri tamamen veremese bile kendince örnekler düzenleyebilir. Aşağıdaki konular orta öğretimde basitleştirilerek örneklerle öğrenciye verilebilir:

Düzlem Taksi geometrisi tanıtılır, modern yaşamdaki çok sayıdaki uygulamaları verilir. Öklidyen düzlem geometrinin 13 aksiyomundan 12 tanesini sağladığı fakat sadece KAK aksiyomunun sağlanmadığı -aşağıdakine benzer bir örnekle- gösterilebilir.

Öklid geometrisinde "C, A ile B arasında Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" arada olma aksiyomu bir çok metrik geometride gerli değildir. Örneğin; (1,-1)

"arada olma" yı daha belirlemek için metrik yaklaşımda "C, A ile B arasında ve CÎ Û d(A,C)+d(B,C)=d(A,B)" biçiminde geliştirilmiştir.

Öklid düzleminin istenilen kadar büyük yarıçaplı fakat gerektiğinde sınırlı bir bölgede yaşam uygulaması mümkün kılan Klein Modeli tanıtılarak Öklid dışı geometri kolayca anlatılabilir.





- Bu modelde paralellik nasıl tanımlanır?

- Paralel olmayan ve kesişmeyen doğrular var mı?

- Paralellik aksiyomu dışındaki aksiyomlar sağlanır mı?

gibi sorulara cevap aranabilir.

Poincare'nin yarı düzlem hiperbolik geometrisi tanıtılır. Paralellik aksiyomunun sağlanmadığı, üçgenin iç açıları toplamının 180 den küçük olduğu kolaylıkla gösterilebilir.

KAYNAKLAR

1. W. W. R. Ball, Ashort Account of the History of Mathematics Dover Pub, Inc., New York.

2. C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley&Sous, New York (1968).

3. S. R. Clemens, Non-Euclidean Distance, Mathematics Teacher, ? , 595-600 (1971).

4. D. Hilbert, Foundations of Geometry (Grundlagen Der Geometri nin İngilizce Tercümesi), Open Court Pub. Comp. (1950).

5. R. Kaya, Projektif Geometri, Anadolu Üniversitesi yayını (1992).

6. F. Krause, Taxicab Geometry, An adventure in Non-Euclidean Geometry, Dover Pub., Inc. New York (1975).

7. G. E. Martin, Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane

8. R. S. Millman-G. D. Parker, Geometry, A Metric Approach with Models, Springer Verlag, Berlin (1991).

9. School Mathematics Study Group, Geometry, Pasedena, California.

10. S. Stahl, The Poincare Half-Plane, Jones and Barlett Pub., Boston.




EK-1: ÖKLİD AKSİYOMU ve POSTULATLARI



Öklid ELEMENTLER adlı 13 kitaptan oluşan eserlerinden ilk 4 tanesinde düzlem geometriyi incelemektedir.Öklidyen geometrinin aksiyom ve postulat adıyla anılan iki tür varsayımı vardır, ve bu iki kavram arasındaki FARK daima soru ve tartışma konusu olmuştur. Greekçe' den alınan axioma ( önemli, değerli, yakışır, uygun) sözcüğü tamamen aşikar, doğruluğundan şüphe olmayan ifade anlamında kullanılırken; postulat sözcüğü doğru olduğu kabul edilebilen ifade yada başka bir deyimle doğruluğu çok aşikar olmayan fakat geçerli olduğu varsayılan ifade anlamında kullanılmıştır. Bugün matematikte böyle ifadeler arasında ayırım yapmaksızın hepsi aksiyom olarak, temel ön kabuller olarak, alınmaktadır. Öklid aksiyom ve postulatlarını tam yansıtmak için onları orijinaline uygun ingilizce ifadeleriyle vermeği tercih ediyorum:



AKSİYOMLAR



[1] Things which are equal to the same thing are also equal to one another.

[2] If equals added to equals, the whole are equal.

[3] If equals be subtracted from equals, the remainders are equal.

[4] Things which coincide with one another are equal to one another.

[5] The whole is greather than the part.



POSTULATLAR



[1] To draw a line from any point to any point.

[2] To produce a finite straight line continuously in a straight line.

[3] To describe a circle with a circle with any center and distance.

[4] That all right angles are equal to one another.

[5] That, if a straight lines make the interior angles on the same side less than two right angles, the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side of which are the angles less than the two right angles.



Not: Öklid aksiyom ve postulatlarında görülebilen eksiklik ve muğlaklıkların bir çoğu, yine önceden verilen 23 tanımla kısmen takviye edilerek tamamlanmaya çalışılmıştır.



KAYNAK: "Euclid's Elements, book I." olarak internetten bakılabilir.


EK-2:ÖKLİDYEN DÜZLEM AKSİYOMLARININ

D.Hilbert TARAFINDAN YENİDEN DÜZENLENMİŞİ



I - KONUM (Connection or Incidence) AKSİYOMLARI



[1] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en az bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en az bir doğru geçer).

[2] Birbirinden farklı iki nokta üzerinde en çok bir doğru vardır. (Farklı iki noktadan en çok bir doğru geçer).

[3] Her doğru üzerinde en az iki nokta, ve dışında en az bir nokta vardır.



II - ARA (Order) AKSİYOMLARI



[APB], P noktasının A ile B arasında olduğunu göstermek üzere:

[1] [APB] ise A, P, B noktaları farklı olup doğrudaştır ve [BPA] dır.

[2] Farklı ve doğrudaş olan üç noktadan ancak birisi öteki ikisi arasındadır.

[3] A ve B bir l doğrusu üzerinde farklı iki nokta ise, l üzerinde [ABP] olacak biçimde en az bir P noktası vardır.

[4] (PASCH aksiyomu) A, B, C doğrudaş olmayan üç nokta ise ve ABC düzleminin, A, B, C nin hiçbirinden geçmeyen bir l doğrusu (BC), (CA), (AB) açık doğru parçalarından birini keserse, öteki ikisinden bir tekini de keser.



III - EŞLİK (Congruence) AKSİYOMLARI



[1] [AB] bir doğru parçası, ve [A´P herhangi bir ışın ise, bir ucu A´ de, öteki ucu ışın üzerinde olan ve [AB] ye eş bulunan bir tek [A´B´] doğru parçası vardır.

[2] Doğru parçaları için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani

.

[3] [APB] ve [A´P´B´] için

.



[pq], p ve q ışınlarının oluşturduğu açıyı;

[prq], [pq] açısının bir iç noktası R iken r = [OR ışınının p ile q nun arasında kaldığını;

[lP, düzlemde l doğrusu ile birlikte, l nin dışındaki P noktasını üzerinde bulunduran yarı düzlemi (düzlem-ışın) göstermek üzere:



[4] [hk] bir açı, ve [lP hrhangi bir kenarı l üzerinde, öteki kenarı düzlem-ışın üzerinde olan ve [hk] ye eş bulunan bir tek [h´k´] açısı vardır.

[5] Açılar için eşlik bağıntısı geçişkendir, yani

.

[6] [hrk], [h´r´k´] için

.

Üçgenlerde eşliğin KAK tanımı: Aralarında gibi bir eşleme kurulmuş olan iki üçgende karşılıklı ikişer kenar birbirine eş ise ve ayrıca bu kenarlar arasındaki açılar da eş ise bu iki üçgene eş üçgenler denir.

[7] Birbirine eş olan iki üçgende karşılıklı taban açıları eştir.



IV - ÖKLİD PARALELLİK (Parallel) AKSİYOMU



Başka iki doğruyu kesen bir doğru, bu iki doğru ile aynı tarafta, toplamları den küçük açılar oluşturursa, iki doğru bu açıların bulunduğu tarafta kesişirler.



V - SÜREKLİLİK (Continuity) AKSİYOMLARI



[1] (ARCHIMEDES veya CANTOR aksiyomu) bir l doğrusu üzerinde içiçe doğru parçaları ise, l üzerinde, kendisine göre, bütün ler aynı tarafta ve bütün ler ters tarafta olacak biçimde bir P noktası vardır.

[2] (Tamlık Aksiyomu) Nokta, doğru (ve düzlemlerin) oluşturduğu sisteme, bu beş grup aksiyomun hepsine uyan yeni bir geometri oluşturacak şekilde başka elemanlar eklemek mümkün değildir. Başka bir deyimle, geometrinin elemanları, beş aksiyom grubu sağlandığı sürece, şüphe kabul etmeyen bir sistem oluşturur.

KAYNAKLAR

1- David Hilbert, Foundations of Geometry, Open Court Pub. C., 1950.

2- Hüseyin Demir, Öklid Geometrisi, ODTÜ, 1987.



EK-3: ÖKLİDYEN DÜZLEM GEOMETERİ AKSİYOMLARI

(METRİK YAKLAŞIM)



"Öklidyen düzlem geometri";

- P; noktalar kümesi,

- L; P nin alt kümelerinin bir ailesi olan doğrular,

- m; açı ölçme fonksiyonu,

- ; uzaklık fonksiyonu,

olmak üzere aşağıda verilen onüç aksiyomu sağlayan [P,L, ,m] matematiksel sistem olarak düşünülebilir. ( Bu onüç aksiyom antik çağda Öklid tarafından bulunan modern bir aksiyomlar kümesinin, bugün indirgenmiş son şeklidir).



İlk iki aksiyom üzerinde olma aksiyomları olarak bilinir.



[1] Verilen iki noktayı içeren bir tek doğru vardır.

[2] Her doğru en az iki nokta içerir. P kümesi doğrusal olmayan en az üç nokta içerir.



Bunları izleyen dört aksiyom uzaklık fonksiyonunun pozitif tanımlı, simetrik ve üçgen

eşitsizliğini sağladığını gösterir. Ayrıca cetvel aksiyomu denilen aksiyom sağlanır.

Detaylı olarak, için bu dört aksiyom aşağıdaki gibidir.

[3] Her sıralı (A,B) nokta çifti için (A,B) sayısını belirtir. Ayrıca (A,B)=0 olması için gerek ve yeter koşul A=B olmasıdır.

[4] (A,B)= (B,A) dir.

[5] (A,B)+ (B,C)> (A,C) dir.

[6] Verilen bir L doğrusu fL:L!R bire-bir ve örten fonksiyonu vardır öyleki L üzerindeki tüm A, B noktaları için;

|fL(A) - fL(B)|= (A,B)

olur.



Şimdiki aksiyom düzlem ayırma aksiyomudur.



[7] Verilen bir L doğrusu için P nin H1 veH2 gibi yarı düzlem olarak adlandırılan iki alt kümesi vardır öyleki,

(i) H1 veH2 konvekstir;

(ii) H1 [H2 = P - L (P den L nin atılmışı demektir);

(iii) A2H1 ve B2H2 ise \L ¹ Æ.

olur.



Şimdi vereceğimiz dört açı-ölçme aksiyomu bir bütün oluşturur.



[8] m, her bir açı için 0 ile 180 arasında değişen bir reel sayı değeri ile belirtir.

[9] H yarı düzleminin kenarı üzerinde bir ışını ve 0 ile 180 arasında herhangi bir r reel sayısı verilsin. Bu durumda P2H olmak üzere mÐPAB = r olacak şekilde bir tek ışını vardır.

[10] Eğer D noktası ÐABC nin iç bölgesinde ise

mÐABD + mÐDBC = mÐABC

dir.

[11] Eğer B noktası, A ile C arasında ve DÏ ise,

mÐABD+mÐDBC = 180

dir.

Sıradaki aksiyom [P,L, ,m] sisteminin kenar - açı - kenar aksiyomudur.

[12] İki üçgenin köşe noktaları arasında bire-bir bir eşleme verilsin. Eğer birinci üçgenin iki kenarı ve aralarındaki açı, ikinci üçgenin karşılık gelen kenarlarına ve açıya eş ise bu eşleme bir eşlik (çakışma) dir.                
www.matematikgeometri.com

 

GEOMETRİ HAKKINDA( Ünv.  veya daha üst  seviye)

Geometri eski adı Hendese, Alm. Geometrie (f), Fr. Geometrie (f), İng. Geometry. Uzayı ve uzayda tasarlanabilen şekilleri ve cisimleri inceleyen matematik dalı. Yunanca bir kelime olan geometri, kelime anlamı olarak yerin ölçülmesi demektir. Geometri çok eski çağlardan beri vardı. Ancak geometri ismi, bu ilmin ilk sistematik hale gelmeye başladığı eski Yunanlılarda verilmiş olup, aksiyomatik bir ilim haline gelmesine rağmen, halen kullanılmaktadır.

Geometriyle sırasıyla,
Thales, Pisagor, Eflatun ilgilenmiştir. M.Ö. 3. yüzyılda Euclides’in yazdığı Elemanlar adlı kitap, geometrinin sistemli bir ilim haline gelmesine öncülük etmiştir. M.Ö. 330 yıllarında kurulan İskenderiye, Akdeniz bölgesinin en etkili kültür merkezi olma özelliğini uzun yıllar muhâfaza etmiş ve burada geometri çok gelişmiştir.

Adları zamanımıza kadar uzanan matematikçilerin, fizikçilerin ve astronomicilerin bu kültür merkeziyle sıkı ilgileri olmuştur. İskenderiye ocağı sönünce, matematik ve geometri Akdeniz bölgesinde geriledi ve hatta zamanla izleri silindi. Buna karşılık İslam aleminde birçok matematikçiler yetişti. Müslümanlar, geometri üzerine mevcut olan çalışmalarına devâm etmişlerdir. Bu arada
Abbasiler zamanında klasik Yunan kaynaklarıyla temasa gelmişlerdir. Bu kaynaklarda yazılanlarla kendi bilgilerini karşılaştırmışlar, Yunan eserlerindeki yanlışlıkları düzeltmişler ve bu sahada yeni eserler vermişlerdir. İlk eserlerden birisi Benî Mûsâ’nın Kitâbu Marifeti Mesâhat-il-Eşkâl (Şekillerin Alan Bilgisi) adlı kitabıdır. Daha sonra bu kitaba Nâsıreddîn Tûsî açıklama yazmıştır. Bu ise daha sonraları Lâtinceye tercüme edilmiştir. Benî Mûsâ’nın konikler üzerine yazdığı kitap da meşhurdur. Sâbit ibni Kurre Parabolün Kuadraturu adlı eserinde parabol parçalarının alanlarını hesaplamıştır. Diğer bir geometrici Ebü’l-Vefâ el- Buzcânî’dir ki Fîmâ Yahtâcu İleyhi es-Sânî min A’mâl-il-Hendese (Sanatkârın İhtiyâcı Olan Geometrik İşlemler) eseridir. İbni el-Heysem’in ise izoperimetri problemleri üzerindeki çalışmaları kayda değerdir.

Biruni ile mektuplaşan Ebü'l-Cud, çemberi dokuz eşit parçaya ayıran bir metod geliştirmiştir.

Ömer Hayyaö ve Tûsî’nin Euclid’in paralel doğru teorisi ile ilgili beşinci postulatın incelenmesi yeni bir devrin başladığına işâret eder. Ömer Hayyân’ın Fî Şerhi mâ Eşkale min Müsaderat Kitabı Euclid (Euclid Elemanlarının Zorluğu Üzerine) adlı eseri bir anlamda Euclid dışı geometrilere açılan ilk kapıdır. Bu Müslüman geometri alimleri ve kitapları, Rönesanstan sonra Avrupa’da yetişenlere rehberlik ettiler.

Batıda geometrinin gelişmesi ve doğu ile aralarındaki bağın yeniden kurulması, ancak Rönesansla mümkün oldu. Euclid’in paraleller postulatının ilk tenkidcileri, bu postulatın doğruluğundan değil, açık bir noktanın olmayışından şüphelendiler. Bu sebeple postulatı bir tarafa bırakarak, açıklığı olan başka bir postulat koymaya çalıştılar. Aynı problem 13. asırda İranlı Matematikçi
Nasireddin Tusi tarafından yeniden ele alındı.

On sekizinci asırda paraleller postulatı üstüne
Avrupa’da Papaz Sacheri, Legender, Lambert gibi matematikçiler ve 19. asırda Alman Matematikçi Gauss tarafından çeşitli çalışmalar yapıldı. Bu araştırmalardaki başarısızlık, bu postulatın “kabul edilebilir” özellikteki açık önermelerden faydalanarak ispat edilemeyeceği düşüncesini ortaya koydu. Hakikaten çok geçmeden bu düşünce Bolyai (1832)de, Lobachevsky (1855)de “paraleller postulatı” yerine “Lobacevski postulatı”nı (Bir doğruya bir doğru dışındaki her noktadan iki paralel çizilebileceğini kabul eden postulat) koyarak, yeni bir geometri kurulabileceğinin farkına vardılar. Böyece “Hiperbolik Geometri” denilen yeni bir geometrinin temelleri atılmış oldu. Daha sonra Riemann paralelliğini kabul etmeyen “Eliptik Geometri”nin temellerini attı.

Geometride ele alınan bütün konular
nokta, çizgi, yüzey ve hacimlerle ifade edilir. Şekilleri bu yönlerden ele alıp, özelliklerini inceler. Geometrideki bu temel ifâdelerden nokta en ilginç olanıdır. Noktanın eni, boyu, yüksekliği, alanı ve hacmi mevcut değildir. Bu sebepten de noktanın müstakil bir tarifi mevcut değildir. Ancak iki doğrunun kesişim kümesi olarak tarif edilebilir. Buna mukabil geometrinin diğer ifâde araçlarından çizgi, yüzey ve hacim en az bir boyuta sâhib olan ifâdelerdir. Çizgi, sadece uzunluğu olan (bir boyutlu); yüzey, uzunluğu ve genişliği olan (iki boyutlu); hacim ise uzunluğu, genişliği ve yüksekliği olan (üç boyutlu) ifadelerdir.

Her ilim dalında olduğu gibi geometrinin de üzerine kurulu bulunduğu bir temeli mevcuttur. Bu temel üzerinde kendi ifâde birimleri ile, meseleleri (problemleri) açıklığa kavuşturmaya çalışır. Bu temeller aksiyom, postülat, tanım (târif), teorem ve geometrik yer isimlerini alır. Bunlardan aksiyom, ispata ihtiyaç duyulmadan, kabul edilen
önermelerdir. (Bkz. Aksiyom)

Aksiyomlardan (doğru veya yanlış) büyük ölçüde faydalanılır. Doğru aksiyomlar doğru, yanlış olanları ise yanlış neticeler meydana gelmesine sebebiyet verirler. Geometrik aksiyomlar ortaklık, sıra, denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomları olmak üzere beş gruba ayrılır.

Postülatlar, mantıkî olarak doğruluğu kabul edilmesine rağmen, doğru veya yanlış olduğu ispat edilmeyen önermelerdir. Geometride postülatların kullanılması bâzı problemlerin çözümünde önem arz etmektedir.

Tanım (tarif), bir kavramı, bir varlığı, özel ve temelli niteliklerini belirterek tanıtmak olup, bir geometri problemi üzerinde yürütülen fikirlerin doğruluğu, tanımların doğruluğu ile doğru orantılıdır. Mesela karşılıklı kenarları paralel olan dörtgenlere paralelkenar denir. Dikdörtgen ise karşılıklı kenarları paralel ve bir açısı dik olan dörtgenlerdir. Bu tariflerde karşılıklı kenarların ve açıların eşit olması ile, açıların hepsinin dik olması, ayrı özelliklerdir. Geometri, problemleri ve bu problemler üzerindeki çalışmalarda bu târifler son derece ehemmiyet kazanır.

İspatlanabilen önermeler olan teoremler, iki kısımdan meydana gelir:
Hipotezler, verilen bilgiler ve bu bilgilerden çıkarılan varsayımlardır. Hüküm ise teoremin ispat edilmesi istenen bölümüdür. Geometri problemlerinde, problemin ifâdesinden hipotez ve hüküm kısmını ayırd etmek çok önemlidir. “Bir üçgende bir dış açı kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.” ifadesi bir teoremdir. Bir ispatta, aksiyomlardan, postulatlardan, târiflerden ve istenen ispatı yapabilmek için daha önce ispatlanmış olan teoremler ile bâzı teoremler için ispatı yapmaya faydalı olacak “yardımcı teorem” adı verilen teoremlerden istifâde edilir. Bu kaynaklardan faydalanılmadan, geometri teoremlerinin ispatı yapılamaz, yapılsa da tutarlı ve geçerli yönü olmaz. Bir teoremin hükmü başa alınır, hipotez yapılır; hipotezi de hüküm yapılırsa, elde edilen yeni teoreme, evvelkinin “karşıt teoremi” adı verilir.

Geometride bütün problemlerin çözümüne uygulanacak bir tek metod göstermek imkânsızdır. Çünkü her problem, kendi niteliğine uygun bir yol ile çözülebilir. Bununla berâber, çözüm için yapılacak araştırma ve muhâkemeye bir yön vermek mümkündür. Kullanılan metodları, özel ve genel diye sınıflandırabiliriz. Özel metodlar, çözücünün bu husustaki görme ve sezme yeteneğine bağlıdır. Bir problemi çözerken görülen özel yol diğer birine uygulanmaz.

Geometrik görüş ve seziş melekelerinin geliştirilmesi için çözücüye bol sayıda “çözülmüş problem” incelenmesi tavsiye edilir. Genel metodlar, analiz ve sentez olmak üzere ikidir.

Analiz: Bu metodla ispat yaparken, ispatı istenen hükmü hareket noktası alıp, geriye doğru zincirleme bir muhâkeme yapılır. Mesela (D) önermesinin doğruluğunu göstermek için, buna göre daha basit olan (C)nin, doğruluğunu göstermeye bunun için de daha basit olan bir (B) önermesinin doğruluğunu göstermeye gayret edilir. Böylece, daha önceden bilinen bir önermeye varıncaya kadar devam edilir.

Bu metodla problem çözülürken, problem çözülmüş olarak kabul edilip, şekil çizilir ve yukarıda anlattığımız seri muhâkeme yapılarak, sorulan problem, çözümü belli bir problem veya teoreme götürülmeye çalışılır. Çoğu zaman çizim problemlerinde izlenen yol budur.

Sentez: Analizin tersi olan bir metoddur. Bu metodla bir hükmü ispat etmek için, daha önceden bilinen bir önermeden hareket edilerek zincirleme bir muhakeme ile yeni bir önermeye geçilir. Bunun doğruluğu gösterildikten sonra, adım adım sorulan hükme doğru yaklaşılır. En sonunda sorulan hükmün de doğru olacağı sonucuna varılır.Meselâ, bir (D) önermesinin doğruluğunu göstermek için önceden bilinen (A) önermesinden hareket edilerek, “(A) doğru olduğundan (B) de doğrudur. (B) doğru olunca (C) de doğru olur. Nihâyet (C) doğru olduğu için, (D)nin de doğru olması gerekir” diye sıralı bir muhakeme yapılır.

Bu metodu, problem çözmeye uygulamak güçtür. Çünkü bir problemi çözmek için, önceden belli olan hangi problem veya teoremden hareket edileceği bilinmez. Onun için bir problemin çözümünü ararken izlenen metod analizdir. Sentez ise, daha çok bir teoremden yeni bir teorem bulmakta veya belli çözümü anlatmakta kullanılır. Bilinen bir çözümü bu metodla anlatmak kısa olduğu için öğretimde tercih edilir.

Bir ispatın tam olabilmesi için, çabuk yapılan bir analizden sonra sağlam bir sentezi ihtivâ etmelidir.

Bir düzlem içerisinde ortak özelliğe sâhib olan noktaların meydana getirdiği geometrik şekle “geometrik yer” adı verilir. Meselâ, verilen bir noktaya, belirli bir uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir.

Geometrik yer problemleri: Geometrik yer problemlerinin çözümünde, önce geometrik yerin cinsini anlamak için, geometrik yere ait olması gereken birkaç özel nokta gözönüne alınır ve bu noktalardan geçecek çizginin ne olabileceği aranır. (Şimdilik bu çizgi;
doğru, çember, elips, hiperbol, parabol... olur.) Böylece geometrik yerin cinsi kestirildikten sonra düşünceler o yönde toplanır. Çözüme başlanırken:

1. Geometrik yere âit (yâni verilen şarta uyan) bir nokta M olsun denir. Sonra bu noktanın şekille ilgili hangi sâbit çizgi üzerinde bulunacağı aranır.

2. Karşıt olarak, bu çizgi üzerinde alınan herhangi bir M noktasının verilen şartı gerçekleyip, gerçeklemediği gösterilir. Eğer çizginin bir kısmındaki noktalar verilen şartı gerçeklemiyorsa, çizginin bu kısmı geometrik yere âit değildir, denir.                            

Geometrinin Bölümleri                                                                                                                             1. Analitik geometri: Tasvirleri ve geometri uzayındaki çalışmaları rakam ve cebir denklemleri kullanarak ifâde eden matematik dalı. Analitik geometride noktalar, sıralanmış sayı kümelerinden meydana gelen koordinatlarla ifâde edilir. Analitik geometrideki çalışmalarda problemin husûsiyetine göre kartezyen koordinat sistemi (dik veya eğik) veya polar koordinat sistemleri kullanılır. (Bkz. Analitik Geometri)

2.
Diferansiyel geometri: Hesaplamanın ve özellikle diferansiyel hesâbın geometriye tatbik edildiği dal. On dokuzuncu yüzyıldaki en değerli matematik kitaplarında diferansiyel geometrinin temeli, düzlem ve uzaydaki eğrilerle uzaydaki yüzeyler olmuştur. Diferansiyel geometrinin temel kavramları eğrilerin teğetleri, teğetlerin değişmeleri ve eğrilikleridir. Kartografyadaki bir yüzeyin bir başka yüzey üzerine haritasının çıkarılması diferansiyel geometri kavramlarına dayanan bir çalışmadır. Bu sahada vektör ve tansör hesap, düzenli bir şekilde kullanılır. Geometrinin bu bahsinin anlaşılmasında, diferansiyel hesap esaslarının iyi bilinmesi gerekmektedir.

Bir yüzey uzaydaki dik kartezyen koordinatlarda f(x,y,z)=O fonksiyonu ile, uzay eğrisi ise iki yüzeyin arakesitiyle gösterilir. Bir uzay eğrisinin bir diğer ifâdesi ise parametrik gösterilimle olur. x=f(t) y=g(t), z=h(t) ifâdesi gibi, indisli olarak xi=fi(t) (i=1,2,3) şeklinde de olabilir. Burada t parametredir. Yay uzunluğu olan s, eğri üzerinde sabit bir noktadan ölçülür.

Eğrinin P(xi) noktasının bulunduğu küçük parçasında dxi/dt teğet vektörünün, ti=dxi/ds ise, birim teğet vektörünü gösterir. p noktasında ti’ye dik olan düzleme “normal düzlem” denir. ti’nin değişim oranına (diferansiyeline) eğrilik vektörü denir. Ve bu ti’ye diktir. ti (teğet) ni (normal) birim vektörlerinin arasında kalan düzleme öskülatör düzlem denir. Bu düzleme (P) noktasında dik olan vektöre binormal vektör denir. bi ile gösterilir. Üç vektörün meydana getirdiği ti, ni, ve bii formuna üçparmak kuralı denir. Çünkü eğri P noktası etrâfında hareket eder. Bu hareket Frenet formülleri ile ifâde edilir.

Yüzeyler f(x,y,z)=0 veya xi=xi (u,v) parametrik gösterilim ile ifâde edilir u ve v parametreleri yüzeyin eğrileri veya gauss koordinatları olarak isimlendirilir. Bir S yüzeyinin eğrileri u ve v arasındaki ilişki ile verilmektedir.

3.
Euclide geometrisi: Euclide geometrisi, ismini M.Ö. 300 yıllarında bu branşı kurarak uzay geometrisini yeniden düzenleyen geometrici Euclide’den alır. Euclide geometrisi Non-Euclide geometriden Euclide’in meşhur beş postülatı ile ayrılır. Bunlar paralellik postülatlarıdır. Non-Euclid geometrinin 19. yüzyılda ortaya çıkmasından önce, Euclide geometri çözülemeyen mantıkî tümdengelim sistemlerini ve uzay ifadelerini sadece matematik ifadeler kullanarak çözmeye çalışırdı.

Euclid, teorilerini aksiyomlar ve postülatlar olmak üzere ikiye ayırmıştır.

Euclide’in postülatları şunlardır:

a) İki nokta bir doğru ifâde eder. b) Bir doğrudan bir doğru parçası elde edilebilir. c) Bir dâire bir merkez ve yarıçapı ile ifâde edilebilir. d) Bir dik açı bütünleyenine eşittir. e) Bir doğru iki aykırı doğru tarafından kesildiğinde, meydana gelen iki iç açının toplamı 180°den küçüktür.

Düzlem geometride, geometri uzayı iki boyutlu düzlemdir. Euclid düzlem geometrisinde temel elemanlar noktalar ve doğrulardır. Teoremler, matematik aksiyomlardan yapılan çizimlerden sonuç elde edilmesi şeklindedir. Euclide geometrinin en iyi bilinen teoremi Pisagor teoremidir.

4. Projektif geometri: On beş ve on altıncı yüzyıldaki ressamların, üç boyutlu cisimleri iki boyutta temsil etme isteğinden doğmuştur. O zaman en iyi bir resmin, cisimle göz arasına konulacak bir camda ortaya çıkarılabileceğine gelinmişti. Projektif geometri, matematik bir disiplin olarak ancak 19. yüzyıldan sonra ortaya çıktı.

Temel tarifler: Bir F şeklini P noktasına birleştiren doğrular, şeklin projeksiyonunu teşkil ederler. Eğer bu doğrular bir F’ düzlemiyle kesilirse, yeni bir şekil elde edilir. F düzlemindeki şekille F’ düzlemindeki şekil arasındaki ilişkiye perspektif dönüşüm denir. F’ yeni şeklinin bir P’ noktasına göre projeksiyonunu üçüncü bir düzlemle F şeklini versin. F’’ iki perspektif dönüşümün sonucudur. Böyle devâm ederek bir seri perspektif dönüşümler bulabilir. Projektif geometri, projektif dönüşümler altında değişmeyen özellikleri inceleyen bilim koludur.

Projektif değişim: Projektif geometride noktalar noktalara, doğrular doğrulara dönüşür. İki doğrunun kesim noktası dönüşmüş doğruların kesim noktası olarak ortaya çıkar. Ancak pekçok şey de değişir. Mesela; mesafeler ve açılar değişir. Üçgen projektif bir şekil olduğu hâlde, yani projektif dönüşümü de üçgen olduğu hâlde, eşkenar üçgen ve dik üçgen projektif bir şekil değildir. Dörtgen projektif olduğu hâlde, dikdörtgen veya paralel kenar değildir. Konikler projektif olduğu hâlde, elips, parabol ve hiperbol kendi içlerinde projektif şekiller değildir.

Aksiyom sistemleri: Projektif geometri ortaya çıkarmak için gerekli aksiyomlar pekçok şekilde ifâde edilebilir. Bunlardan bir takımı aşağıdaki gibi sıralanabilir:

Aksiyom 1: Birbirinden farlı iki nokta tek bir doğru üzerinde bulunur. Aksiyom 2: Her doğrunun üzerinde en az üç ayrık noktası vardır. Aksiyom 3: Bir doğru ile üzerinde olmayan bir nokta mevcuttur. Aksiyom 4: İki farlı doğrunun en az bir ortak noktası mevcuttur.

Dualite (ikilik) prensibi: Dikkat edilirse doğru ile nokta aksiyomlarda ve bundan çıkarılacak teoremlerde benzer durumlardadır.Meselâ aksiyom 3’te “doğru” ile “nokta” yerleri değiştirilirse, bir değişiklik olmaz. Diğer aksiyomlarda da yapılacak bir değişiklik daha sonra elde edilecek teoremleri verir. Bu tür bir özellik, geometrinin daha kullanışlı olmasını sağlar. Meselâ, doğru ve nokta için ispat edilecek bir teoremin hemen nokta ve doğru için de geçerli olduğu söylenebilir.

Temel teorem: Projektif geometride, bir doğru üzerindeki üç noktanın dönüşümlerinin de bir doğru üzerinde olduğu ispatlanabilir. Bu sonuç, projektif geometrinin temel teoremi ile alâkalıdır. Temel teorem; “Bir projeksiyon, bir doğru üzerinde üç nokta ve onların dönüşümleri verildiğinde, tamâmen belirlidir.” şeklindedir.

Projeksiyon çeşitleri: Projektif geometride bâzı noktalar projeksiyon sırasında değişmezler, bunlara projeksiyonun değişmez noktaları denir. Projeksiyon böyle noktaların hiç, bir tâne veya iki tâne olmasına göre sıra ile eliptik, parabolik veya hiperbolik olarak isimlendirilir.

Tasarı geometri: Uzay veya düzlemdeki bir şekli izdüşüm vâsıtalarıyla gösterilme metodlarını verir. Pekçok mümkün metoddan, 1) Merkezî izdüşüm, 2) Aksonometri ve paralel izdüşüm, 3) Ortografik izdüşüm başlıcalarıdır. Fotogrametri de alâkalı bir konudur.

Merkezi izdüşüm: Uzaydaki bir şekil, sâbit C noktasından bir düzlem üzerine izdüşürülür. İlk diyagramda, izdüşüm düzlemi adı verilen P düzlemi, izdüşüm merkezi olarak adlandırılan sâbit bir nokta vardır. A noktasını izdüşümü alınacak uzaydaki bir görüntü noktası olarak kabul edersek bu nokta sâbit C noktasına bir doğru çizgi ile birleşir. Doğrunun izdüşüm düzlemini kestiği noktaya veya A1’e A noktasının izdüşümü adı verilir.

Perspektif: Perspektifte P düzlemi dik olarak düşünülmüş ve resim (görüntü) düzlemi olarak adlandırılmıştır. Buna dik olan G yer düzlemidir ve yatay olarak düşünülür. Yer düzlemi resim düzlemini yer hattında keser. G üzerindeki ve P arkasındaki cisimlerin P üzerine izdüşümleri alınmış ve izdüşüm merkezi C (şimdi bir göz olarak kabul edilen) P’den biraz önde ve G’nin üstüne yerleştirilmiştir. G’ye paralel olan C’den geçen düzlem P’yi ufukta keser. Ufuk, G’ye paralel bütün doğruların kaybolan uçlarının birleştiği bir hattır. G düzlemi üzerindeki bir maddeyi gözle irtibatlayan ışınlar veya doğrular, resim düzlemini perspektif olarak keser. Böyle elde edilen şekiller, tabiatta belli bir mesâfeden görüldüklerine aynen benzetilebilir.

Aksonometri: “Axonometry” terimi kartezyen koordinat eksenleri olan OX, OY ve OZ vâsıtasıyla olan bir izdüşüm sistemine isnat eder. O, eksenlerin kesiştiği başlangıç (orijin) noktasıdır. İzdüşüm, resim çizilen yüzeye diktir.

Koordinat sistemi pozitif bölgede, içinde temel X1, Y1, Z1 üçgeninin kesilerek şekillendiği bir düzlemle kesilir. Bu düzlem, uzay noktalarının izdüşümlerinin eğik olarak alındığı izdüşüm düzlemidir. Bu paralel belli bir istikâmettedir. O başlangıç noktasının, X1, Y1, Z1 içinde O1 de izdüşümü alınmış olup, O1 X1 O1 Y1 ve O1Z1 koordinat eksenlerinin aksonometrik izdüşümleridir. Bu izdüşümde paralel eksenler paralel kalır.

Non-Euclide geometri: Bu tâbir bâzan Öklid’in kânunlarına ters düşen geometrik teoriler için kullanılır.

Daha teknik olarak paralel aksiyomlar ve onun neticeleri ile uyumluluğu korumak için gerekli olan diğer küçük değişiklikler hâriç tamâmiyle Euclid’e uyan bir geometri dizayn eder.                                                                                                               
www.matematikgeometri.com