FRAKTAL  GEOMETRİ  MAKALELERİ

 

1-)  DOĞANIN GEOMETRİSİ: FRAKTAL GEOMETRİ  

2-)  KAOSUN RESMİ:FRAKTAL GEOMETRİ

3-)  FRAKTAL GEOMETRİ

4-)  FRAKTAL ve FRAKTAL GEOMETRİ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOĞANIN GEOMETRİSİ: FRAKTAL GEOMETRİ    (ortaokul ve lise için uygun)                                                                     

 

Matematiğin önemli bir kolu olarak geometri, insanoğlunun doğayı nasıl algıladığı ile yakından ilişkilidir. Algılama biçimleri geliştikçe, daha ileri geometrik yaklaşımlar ortaya konmuştur. Bir mağara duvarına çizilen resimler bile belli bir geometrik yaklaşımı yansıtmaktadır. Diğer bir deyişle mağara duvarına resim yapan kişi, örneğin bir boğayı en azından belli bir oranda küçülterek çizmesi gerektiğini bilmektedir.

 Yerleşik hayata geçilmesiyle  geometrinin önemi ve geometriye duyulan gereksinim daha da artmıştır. Tarihte Mısırlılar ve Babilliler geometriye önemli katkılar yapmışlardır. Eski Mısır’da Nil Nehri’nde meydana gelen peryodik taşkınlar tarla sınırlarını ortadan kaldırıyordu. Durum normale döndükten sonra tarla sınırlarının yeniden belirlenmesi gerekmekteydi. Mısırlılar bu sorunun üstesinden  geometri bilgisini kullanarak gelmeyi başardı.  Diğer taraftan Mısır matematiğine ilişkin araştırmalar, Mısırlıların hem küre yüzeyini hem de kesik piramidin hacmini bildiklerini göstermektedir. Babilliler ise arazi ölçümü yapabiliyor ve ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu.  

 Euclides geometrisi 2000 yıldan fazla bir zamandır  hakimiyetini sürdürmektedir. Bu klasik geometri anlayışında doğada karşımıza çıkan şekiller; doğrular ve düzlemler, daireler ve küreler, üçgenler ve koniklerden ibarettir. Bu şekiller gerçeğin güçlü bir soyutlamasından ibarettir.  Doğada var olan karmaşık yapıyı anlamak ve modelleyebilmek için yukarıda bahsedilen soyut  şekillerin yeterli olmadığı artık  bilinen bir gerçektir.

 Yakından incelendiğinde doğadaki nesnelerin Euclides geometrisindeki şekillere hiç benzemediği görülecektir.  Tam küre şeklinde olan bir tane bile elma ya da bulut bulunamaz veya tam koni şeklinde olan bir dağ hiç bir zaman yeryüzünde olmadı. Benzer şekilde doğada gövdesi silindir şeklinde olan bir ağaca, bir hat boyunca ilerleyen yıldırıma ya da tepsi gibi düz bir ovaya rastlanamaz.  Özetle doğayı daha iyi anlayabilmek ve modelleyebilmek için yeni bir  geometriye gereksinim vardır.

 Yukarıda sözü edilen yeni geometrinin adı “ fraktal geometri”dir.  Bu isim Fransız bilim adamı Benoit Mandelbrot tarafından verilmiştir. “Fraktal” kelimesi Latince “fraktus (kırık taş)” kelimesinden türetilmiştir. Fraktal geometrinin yarattığı evren, yuvarlak veya düz olmayan; girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş, düğümlenmiş vb şekillerden oluşan bir evrendir. Bu evren Euclid geometrisinin tasvir ettiği türden sıkıcı ve tekdüze bir evren değildir; tersine gözlemciye her ölçekte ayrı bir dünyanın kapılarını aralar. Fraktal bir nesneye bakan gözlemci, matematikdeki “sonsuz” kavramının nasıl somuta dönüştüğüne tanık olur.

 Fraktal bir şeklin neye benzediğini daha iyi anlayabilmek için Mandelbrot’un  İngiltere sahilleri için sorduğu soruyu biz Türkiye sahilleri için sorarak başlayalım: “Türkiye sahillerinin toplam uzunluğu nedir?” Mandelbrot’un iddiasına göre,  her sahil  bir bakıma sonsuz uzunluktadır, diğer bir deyişle, sorunun cevabı kullanılan cetvelin uzunluğuna bağlıdır. Örneğin açıklığı bir metre olan bir pergel ile Türkiye sahillerinin uzunluğu ölçüldüldüğünde, bulunan değer yaklaşık bir tahminden ibaret olacaktır. Çünkü pergel bir metrenin altındaki girinti ve çıkıntıların üzerinden atlayacaktır. Pergel açıklığı yarım metreye indiğinde, bu uzunluk ölçeğindeki ayrıntılar da hesaba katılmış olacaktır.  Dolayısı ile daha  hassas bir ölçüm için her seferinde pergel açıklığını biraz daha küçültmemiz gerekecektir. Sonuçta bulmuş olduğumuz sahil uzunluğu, kullanılan uzunluk ölçeğine bağlı olacaktır. Örneğin bir uydudan ölçülen Türkiye sahillerinin uzunluğu, bütün koyları ve burunları adımlayarak ölçüm yapan bir gözlemcinin bulduğu uzunluktan daha küçük bir değer olacaktır.

 Eğer sahil Euclides geometrisindeki şekillerden birine örneğin bir daireye benzeseydi, gittikçe küçülen pergel açıklıklarıyla yapılan ölçümler sonuçta belli bir değere yakınsardı. Ancak fraktal yaklaşıma göre, ölçek küçüldükçe bulunan sahil uzunluğu sürekli olarak artacak; körfez ve yarımadalardan daha küçük körfezcikler ve yarımadacıklar ortaya çıkacak ve bu işlem ancak atom boyutuna ulaşıldıktan sonra sona erecektir, çünkü sahillerin yapısında fraktallik mevcuttur. Bu yapıyı geometrik olarak tam tanımlı Koch eğrisine benzetebiliriz. Aşağıda nasıl elde edildiği adım adım anlatılan Koch eğrisi bir sahil için ideal bir model oluşturmaktadır (Şekil 1).

 Şekil 1’de görüldüğü gibi A0 adımında birim uzunlukta bir doğru parçası ile başlayıp A1 adımında her biri 1/3  birim uzunluğundaki 4 doğru parçasından yeni bir şekil elde edilir. Bunu yaparken orta 1/3’lük parça atılıp, onun yerine aynı uzunlukta iki parça eklenir. Bu şekilde her yeni adımda, bir önceki adımda elde edilen doğru parçalarına aynı işlem uygulanınca sonuçta fraktal bir şekil ortaya çıkar. İşleme bu şekilde devam edilip n. adıma gelinirse eğrinin toplam uzunluğu (4/3) n olacaktır. Eğer n yeterince büyük alınırsa eğrinin uzunluğu da sonsuza gidecektir. Diğer bir deyişle Koch eğrisinde iki nokta arasındaki uzaklık sonsuzdur. Eğer bu eğri yakından incelenirse şeklin tamamı ile onu oluşturan alt parçaların bir birine benzer olduğu görülür. Örneğin şeklin tamamını 3 kat küçültürseniz bir alt parçasını elde edersiniz. Bu küçültme işlemine sonsuza kadar devam edebilirsiniz.

 

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image002.gif

 Şekil 1: Koch eğrisinin oluşturulması

Bu aşamada artık bir fraktal şeklin tanımını yapabiliriz: Bir fraktal şekil kendi kendine benzer parçalardan oluşmuş bir şekildir. Fraktal şekillerin diğer önemli bir özelliği de boyutlarıdır. Bilindiği gibi Euclides geometrisindeki bütün şekiller tam sayı bir boyuta sahiptir. Örneğin noktanın boyutu 0, doğrunun boyutu 1, karenin boyutu 2, kübün boyutu 3’dür. Oysa fraktal şekiller tam sayı bir boyutla temsil edilemezler (Şekil 2). Koch eğrisi  iki nokta arasında sonsuz uzunlukta olması nedeniyle basit bir doğrunun ötesine taşmakta, diğer taraftan bir düzlemi de tam olarak dolduramamaktadır. Öyleyse Koch eğrisinin boyutu 1 ile 2 tam sayıları arasında yani kesirli bir sayı olmalıdır. Koch eğrisinin boyutu 1.26’dır. Bu örnekte olduğu gibi kesirli bir boyutlara fraktal boyut denir.

 

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image004.jpg

Şekil 2: Euclidyen ve Fraktal boyutların karşılaştırılması.

 

Çeşitli matematiksel fonksiyonların ardışık olarak çözülmesi sonucu son derece büyüleyici fraktal şekiller elde edilebilmektedir (Şekil 3, 4). Daha önce bir sahilin fraktal yapıya sahip olduğu üzerinde durulmuştu. Yalnızca sahiller değil,  doğanın her hangi bir parçası, adaların dağılımı, dağlar, bir havzadaki ana akarsu ve kollarının oluşturduğu şekil, buzullar, belli bir kristal yapının veya tanenin bir kaya içindeki dağılımı, bitkilerin geometrisi vb fraktal özelliktedir.  Şekil 5 ve 6 yakından incelenirse fraktal yaklaşımın doğayı son derece gerçekçi bir şekilde yansıttığı görülecektir. www.matematikgeometri.com

  

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image006.jpg

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image008.jpg

Şekil 3: Julia kümesi                                  Şekil 4: Mandelbrot kümesi

 

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image009.gif

fractal landscape image

Şekil 5: Eğrelti otu                      Şekil 6: Fraktal manzara                                     

 

KAOSUN RESMİ:FRAKTAL GEOMETRİ                                              (Yorum:ortaokul ve lise için uygun)

 

Fraktdent

Her şey, Benoit Mandelbrot’un kafasında oluşan ve aslında basit gibi görünen bir soru ile başladı: İngiltere’nin kıyı uzunluğu ne kadardır? Yanıtı bulmak için yapılabilecek ilk şey, ölçeği belli bir harita bulduktan sonra, buradan kıyı şeridinin uzunluğunu, sözgelimi bir iple ölçmek ve sonucu haritanın ölçeğiyle çarparak, kıyı uzunluğunu hesaplamak olabilir. Peki, kıyı şeridinin uzunluğu ‘gerçekte’ ne kadardır? Kıyı şeridinin uçaktan çekilmiş bir dizi fotoğrafı ile daha doğru bir ölçüm yapabilirsiniz; şüphesiz bu değer, harita üzerinde hesaplanandan biraz daha büyük çıkacaktır. Biraz daha ileri gidip, tüm kıyıyı adım adım ölçtüğünüzü düşünelim; bu durumda ne kadarlık bir uzunluk hesaplayabilirsiniz? Peki ya tüm uzunluğu milimetrik bir cetvelle ölçebildiğinizi düşünün; hatta moleküler boyulara kadar uzanan hassas bir uzunluk ölçümü yapabildiğinizi… Sonuçta, ölçümlerinizi hassaslaştırdıkça, kıyı uzunluğunun sonsuza gittiğini farkedeceksiniz. Sonlu bir kara parçasının sınırları, aslında sonsuz uzunluktadır!

Bu basit ve çarpıcı sonuç, Benoit Mandelbrot gibi bir matematikçinin elinde, ‘fraktal geometri’ dediğimiz yeni bir matematik dalının temellerinin atılmasını sağladı. Mandelbrot, tabiattaki biçimlerin matematiğini keşfeden ve buna latince ‘kırıklı’ anlamına gelen ‘fractus’ sözünden türettiği ‘fractal’ adını veren kişidir. Kendisinin tanımladığı (yahut kendi ifadesiyle, keşfettiği) ünlü ‘Mandelbrot Kümesi’, belki de dünyanın en meşhur geometrik şekillerinden birisidir.

overall-mandelbrot
[Mandelbrot kümesi en sade hali ile]

Mandelbrot aslında fraktal dünyanın ilk kaşifi değildir. Ondan neredeyse bir yüzyıl kadar önce matematikçi Gaston Julia, 1. Dünya Savaşında yaralanmasının ardından hastanede geçirdiği uzun ve acılı günlerde, bu gün Julia kümesi olarak bildiğimiz ilk fraktal geometrik kumeyi tanımlamıştır.

G.Juliajulia_set
[Gaston julia ve kendi adıyla anılan Julia kümesi'nin bilgisayarlarca üretilmiş hali]

Elbette Julia, defalarca tekrarlayan işlemleri hızlıca gerçekleştirebilen bigisayarların icadından yıllar önce, kuramsal olarak keşfettiği bu geometrik biçimi tam olarak görme şansına sahip değildi. Defterlerinin arkasına yaptığı bir kaç çizimle fraktal geomtrinin ilk esaslarını ortaya koymuş, fakat bu yeni geometrinin harika dünyasına tam olarak tanıklık edemeden bu dünyadan ayrılmıştı. Yıllar sonra Mandelbrot’un, Julia kümesinin de türetilebildiği ana fraktal biçim olan o meşhur Mandelbrot Kümesi’ni keşfi de zaten bilgisayarların bu gün bildiğimiz şekliyle kullanıma girmesi sonucu mümkün oldu. Çünkü fraktal geometri milyonlarca kez tekrarlanan işlemlerle elde edilebilen çok karmaşık geometrik biçimlerden oluşur ve bunları elle yapmanın imkansızlığı ancak bilgisayarlar hayatımza girdikten sonra anlaşılabilmiştir.

zoom7

[Mandelbrot kümesinin bilgisayarda renklendirilmiş bir türevi]

Fraktal geometri, bildiğimiz Euklid (Öklid) geometrisinden oldukça farklıdır. Euklid geometrisi, okullarda okuduğumuz, üniversite sınavlarında karşımıza çıkan sıfır, bir iki ve üç boyutlu geometrik şekillerle ilgilenir. Bu şekillerin genellikle gerek dünyada tam olarak bir kaşılıkları yoktur ve çoğunlukla idealleştirmelerden ibarettirler (gerçek dünyada kalınlıksız bir kağıt, yahut boyutsuz bir nokta görme olasılığımız yoktur). 65184-elementary-geometryMandelbrot’un fraktalleri ise, “kesirli” boyutlara (fractal dimensions) sahip olmaları açısından, geleneksel geometriden kökten farklı bir yapı sergiler. Matematiğe çok girmeden bunu şöyle örneklendirebiliriz: Elinizde bir sayfa kağıt olduğunu ve bunun iki boyutlu olduğunu düşünün (aslında kağıt, kalınlığı da olan üç boyutlu bir nesnedir ama, şimdilik kalınlıksız iki boyutlu bir yüzey düşünüyoruz). Kağıdı elinizde o kadar çok buruşturup sıkıştırıyorsunuz ki, artık son derece karmaşık hale gelmiş bu iki boyutlu yüzeyi ‘iki boyutlu’ olarak nitelemek gittikçe imkansızlaşıyor. Üç boyutlu olduğunu da iddia edemiyorsunuz, zira elinizdeki ne kadar buruşmuş olursa olsun, iki boyutlu bir yüzeydir aslında. Dolayısıyla, buruşma miktarı arttıkça, 2.05, 2.28, 2.4 gibi kesirli boyutlara sahip bir yüzey şekli elde etmeye başlarsınız. İşte fraktallerdeki kesirli boyut kavramı da buna benzer bir karmaşıklığın neticesinde ortaya çıkar. Aslında doğada hakim olan geometri de işte bu ‘fraktal geometri’dir…

lungsDoğadaki biçimler gerçekten de geleneksel geometrinin bize öğrettiğinden çok farklıdır. Geleneksel (Euklid’çi) geometri daha ziyade idealize edilmiş soyutlamalardan oluşurken, tabiattaki biçimler çok daha karmaşıktırlar. Yerküreyi 6-7 kez dolaşabilecek kan damarlarını ve bir tenis kortu kadar alan kaplayan akciğer hava keseciklerini bu küçücük vücudumuza; açıldığında 2 metreyi aşkın bir uzunluğa erişen DNA molekülümüzü 100 trilyon hücremizin her birindeki bir kaç mikrometrelik (milimetrenin binde biri) çekirdeğin içine paketlenmesinin ardında, işte bu ‘fraktal’ kurallar yatmaktadır…

Fraktal özelliklere sahip bir geometrik şekli evinizde kendi başınıza elde etmenin bu gün için en kolay yolu, internette rahatlıkla bulunabilen hazır bilgisayar programlarından birisini kullanmaktır (örneğin: Fractal Explorer). Zira her ne kadar basit olursa olsun, bir ‘fraktal’ ortaya çıkarmak, matematiksel bir dizi işlem serisi (iterasyonlar) gerektirir ki, bu tekrarlayan işlem serileri, tam da bilgisayarlara göre bir iştir. Örneğin Mandelbrot Kümesi aslında, ‘karmaşık sayılar’ı da içeren ve kendi sonucunu her tekrarda ‘giriş verisi’ olarak kullanan bir iterasyon, yani tekrar tekrar hesaplama işlemidir. Bu hesaplama sonucu elde edilen kapalı noktalar kümesi, alanı sonlu, fakat kenar uzunluğu sonsuz bir küme olarak tüm fraktallerin –tabir yerindeyse- atasıdır.

Fraktallerin bir başka çarpıcı özelliği, doğada çokça rastladığımız ‘kendine benzeme’ (self similarity) özelliğidir. Herhangi bir iterasyon dizgesi ile oluşturulan bir fraktal biçim, aynı matematiksel formül çekirdeğinin defalarca üst üste tekrarlanması ile ortaya çıktığından, ana kümenin şekli, küme kenarlarının mikroskobik detaylarında dahi benzer görünüm ve biçimlerde tekrarlanır.

mandelbrot_zoom
[Mandelbrot kümesinde gözlenen kendine benzerlik;
yakınlaştıkça biçim kendisini tekrar eder ve bu teorik olarak sonsuza kadar gider]

Tabiatta da bu durumla sık sık karşılaşırız: Örneğin ağaçların bir çok tipinde, dal ve köklerdeki saçaklanma biçimleriyle; dalların yan dallara ayrılma biçimlerinin, yaprakların çıkış noktalarının ve yapraklar üzerindeki damarların dallanış biçimlerinin hep birbirine benzer bir kalıp izlediğine belki de daha önce dikkat etmişsinizdir. Daha çarpıcı bir örnek olarak, atom-altı düzeyi de düşünebiliriz. Bu düzeyde ulaştığımız mikro-alem, aynen uzay boşluğu gibi karanlık, nisbi olarak korkunç mesafelerle birbirlerinden ayrılmış bileşenlerden (elektronlar - protonlar vb.) oluşan bir boşluktur ve atomun ardında, yeni bir ‘uzay boşluğu’, farklı ölçeklerle de olsa bizi bekler gibidir! İşte bu özellikler, fraktal geometrinin sadece ağlenceli bir oyun olmaktan ziyade, hayatın kendisini daha iyi anlamamızda yardımcı bir araç olarak kullanılması konusunda bizi defaatle ikaz ediyor…

Brokoli

fractal_nature

lichtenberg_figure
[Doğadaki bazı fraktal biçimler]

[Bazı doğal yapıların, fraktal geometri biçimleriyle benzerliği şaşırtıcı düzeydedir]

comp2

comp1

Yapısındaki bıktırıcı ve binlerce tekrara dayalı matematiksel altyapıya rağmen fraktal geometri, özellikle günümüz yazılım teknolojisinin nimetleriyle de birleşince artık oldukça yaygınlaşmış durumda. Günümüzde fraktalleri oluşturmak için uzmanlığa gerek olmadığı gibi, güzelliklerini ve bize anlattıklarını anlayabilmek/takdir edebilmek için matematik dehası olmak gerekmiyor. Tek şart, insanî bir merak ve iştiyak sahibi olmak; hepsi o kadar.. Bana sorarsanız, hemen bir fraktal programı edinip kurcalamaya başlayın; karşınıza çıkan alem karşısında şaşkınlığınızı uzun süre gizleyebileceğinizi sanmıyorum…

FRAKTAL GEOMETRİNİN PRATİK FAYDALARI VAR MI?

Bu özel geometri dalı ilk ortaya çıktığı yıllardan beri araştırıcıların hızla ilgisini çeken bir bilim alanı olmaya devam ediyor. Bu ilginin en önemli nedeni, fraktallarla doğal biçimler arasındaki benzerliğin sadece görsel bir benzeşimin çok ötesinde olmasıdır aslında. Doğadaki bir çok biçimin bazı basit fraktal kurallarla kısmen yahut tamamen ifade edilebiliyor olması, bu basit kurallarla doğal biçimlere benzer yapıların bilgisayarlarca oluşturulabilmeleri, araştırıcıları bu alanın derinliklerine doğru kafa yormaya sevkediyor. Doğadaki biçimlerin oluşumlarını inceleyen morfogenez biliminin şu anda en önemli ayaklarından birisini, fraktal geometri ile doğadaki biçimler arasındaki beznerlikleri araştırarak, özellikle canlılardaki karmaşık biçim oluşumlarının şifresini çözebilme çabası oluşturmakta.

newborn_2Fraktal geometri ayrıca fraktal analiz olarak adlandırılan yeni bir ölçüm yöntemleri dizisinin de bilim gündemine girmesini sağladı. Sadece biçimlerin değil, süreçlerin de karmaşıklıklarını ölçmek için kullanılan fraktal analiz ve dekompozisyon teknikleri, doğada karşımıza çıkan biçimlerin ve olayların karmaşıklık düzeylerini sayısal halde izleyip inceleyebilmek için bize yeni yöntemler sunmakta. Örneğin, mikroskop altında incelediğimiz, hücreler gibi doku bileşenlerinin çeşitli nedenlerle uğradıkları biçimsel değişiklikleri artık bir de “fraktal boyutlarını” hesaplayarak sayısallaştırabiliyoruz. Veya beyin aktivitesi sırasında kaydedilen elektroensefalogram (EEG) sinyallerinin benzer yöntemlerle analiz edilmesi, bize kaydedilen aktivitelerin karmaşıklık düzeyi ve altında yatan nedenler konusunda yepyeni fikirler sunuyor. Kısacası, fraktal geometri bu gün, her alanda kullanılan ve gelecekte gittikçe de gözde hale gelecek bir alan olma özelliğini koruyor.

* * *

Fraktal alemdeki kişisel maceramın bana bir kez daha hatırlattığı bir gerçek var: Bu kâinat öyle bir –fraktal– kitap ki, her bir harfinde okunası nice ciltler yazılıp paketlenmiş.. Bizler bu gün, bilimin de katkısıyla bunu çok daha iyi anlıyoruz.

Artık elimizde, bu kompleks kitaptan daha fazla anlam çıkarabilecek bilimsel yöntemlerimiz ve yeni bakış açılarımız var. Dolayısıyla artık bize düşen, okuyabildiğimiz kadar okumak…

Ayrıntılı bilgi için bazı adresler:

http://www.math.utah.edu/~pa/math/mandelbrot/mandelbrot.html
http://mathworld.wolfram.com/MandelbrotSet.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set
http://hypertextbook.com/chaos
                                                            www.matematikgeometri.com

 

FRAKTAL GEOMETRİ

 

Yazar Pınar Derinbay   

 

 

 

ImageFraktal geometriyle ilk tanışmam bundan 5 yıl kadar önce bir arkadaşımın bilgisayarla yaptığını iddia ettiği bir resmi başka bir arkadaşıma doğum günü hediyesi olarak vermesiyle oldu. Klasik anlamda resim diyemeyeceğim bu görüntü, başı ve sonu –belli- olmayan ve birbiri içinde tekrarlanan geometrik diyebileceğimiz, demeyedebileceğimiz bir motifin birbiri içinde tekrarlanan canlı renklerle süslenmiş haliydi. Daha sonra başka eserlerini de gördüğüm arkadaşım ilk kez duymama daha birkaç yıl olan fraktal ya da mandelbrot kelimelerini tek bir kez bile cümle içinde kullanmadan, ‘bilgisayar programı var, yapıyorum işte’ diyerek hayretimi izledi.

 

Hala hayatta olan ve resimde görülen, zamanında ne matematikçilere ne fizikçilere yaranabilmiş Benoit Mandelbrot amcanın ikibin yıllık koca Öklid geometrisini tahtından ettiği buluşunu tanımlamak için oğlunun Latince sözlüğünü karıştırırken rastladığı fractus sıfatından ilham alarak uydurduğu fractal kelimesi ve bu isimle tanımladığı geometriyle tanışmama daha birkaç yıl vardı. Mandelbrot bunu yaptığında takvimler 1975’i gösteriyordu, kendisinin fraktal geometriye dair yayımladığı “İngiltere sahillerinin uzunluğu nedir?” başlıklı ünlü makalesinin yayımlanmasının üzerinden 8 yıl geçmişti.

 

Cevabı başlığı kadar ilginç olan bu makale, daha sonra fraktal geometrinin doğadaki başka tezahürlerine yoğunlaşacak başka matematikçiler için bir öncü niteliği taşıyordu. Özetle, Mandelbrot; ‘Bulacağınız uzunluk pergelinizin uzunluğuna göre değişir. Eğer bir metre açıklığında bir pergelle ölçüyorsanız bir metrenin altındaki kıvrımlar ölçülmemiş olacaktır, eğer bir karışlık bir pergelle ölçüyorsanız bir karışın altındaki kıvrımlar yuvarlanmış olacaktır. Ölçümünüzü ne kadar hassaslaştırırsanız bulduğunuz sonuç o kadar büyük olacaktır ve bunun sonu her bir kum tanesini ard arda ölçmeye kadar gidecektir.’ diyordu.

İngiltere ya da Türkiye sahilinin ne kadar uzun olduğu gibi bir merakım olmadı. En meraklı zamanlarımda bile evdeki televizyonun içinde gerçek adamlar olmadığının farkındaydım. Ancak bu her kıvrımında kendi minik örneklerini sakladığını gördüğümüz ünlü Mandelbrot serisinin z kare + c gibi gayet basit bir fonksiyondan oluştuğunu öğrendiğimde şaşırdım. Gördüğüm kadarıyla tek püf noktası z’nin sıfırdan başlayan herhangi bir sayı, c’nin de test edilen noktaya tekabül eden karmaşık bir sayı olması. Hepimizin anlayabileceği bir dille ifade etmek gerekirse sıfırdan itibaren bir sayı alıyoruz, kendisiyle çarpıp sonucu aldığımız ilk sayıya ekliyoruz. Sonra bu sayının karesini alıp ilk sayıya ekliyoruz ve istediğimiz kere tekrarladığımız bu fonksiyonun dinamik karşılığı yukarıdaki resimlerin ilki oluyor.

 

Araştırınca gördüm ki fraktal geometri, ortaya çıkışı, daha doğrusu bu açıklıkla tanımlanışı ve bir türlü kabul göremeyişi matematiğin bilgisayarların gelişmesini beklediği yüz yıllık uzun ve sıkıcı dönemin bitmesini beklemiş. İlk örnekleri Birinci Dünya savaşı sırasında Gaston Julia ve Pierre Fatou’nun inceledikleri ve literatüre Julia seti olarak geçen denklemlerle genç Mandelbrot karşılaşmıştı ve kendi başarısının sırrı olan sezgileriyle bunların Öklityen kavramlarla açıklanamayacağını anlamıştı. Kendisi şanslıydı, hem dünyaya daha uygun bir zamanda gelmiş hem de IBM gibi bir firmada, zamanın en ileri –ileri dediysek günümüzdekilerin atalarından bahsediyoruz- bilgisayarları elinin altında çalışmaktaydı, üstelik hafif çatlak ve bolca megaloman bir bilim adamı olarak sonradan pek ünlü olacaktı.

 

ImageBurada özetlemekte zorlandığım bilgilerin ışığında söyleyebilirim ki Mandelbrot’un bu hep gözümüzün önünde olan fakat bilinen tarih boyunca kimsenin formüle edemediği fraktal geometrinin başarısı bakış açısında yatmaktadır. Kendisi de sorup cevapladığı sorularda bakış açısını yani ölçeği baş değişken olarak kullanmış. Yine meşhur sorularından biri; bir yumağın boyutu nedir? Eğer uzaktan bakıyorsak bir nokta kadardır. Biraz yaklaşınca birbirinin üzerine sarılmış iplikler kadardır. Daha da yaklaşınca iplikleri oluşturan daha ince lifler kadardır. Daha da yaklaşırsak o lifleri oluşturan sıfır boyutlu noktalar kadardır. İnsanın avucunda tuttuğu bir yumağın nihayetinde sıfır boyutlu noktalar toplamı olduğuna inanası gelmiyor ancak matematiksel olarak durum bu.

 

ImageKoch’un birbirini daha küçük ölçeklerde tekrarlayan üçgenlerden oluşan kartanelerinin merkezinden çizilmiş bir daireye sığmakla birlikte kenarının sonsuz uzunlukta olduğuna da ilk bakışta inanmak zor. Ancak matematiğin böyle de bir boyutu varmış işte! Her kenarı 30 santimetrelik gayet ele gelir bir boyutta bir eşkenar üçgenle başlayıp, her kenardan ortadaki on santimden yeni bir eşkenar üçgencik çıkarmak ve bunu tekrarlayarak, her seferinde bir öncekinin üçtebir boyutunda yeni üçgencikler yapmaya devam edersek bizim de Helge von Koch’un ta 1904’de tanımladığı, kenar uzunluğu sonsuz, alanı maksimum eşmerkezli bir daire kadar olan bir kar tanemiz olur. Tamamen ölçek meselesi.

 

ImageCantor tozu, Sierpinski halısı ya da Menger süngeri de aynı mantıkla oluşturulmuş daha eski örnekler. Matematiksel bakımdan incelenmeye değer olduğu gibi pratik yaşamda da benim aklımın ucundan geçmeyecek dertlere deva olmuşlukları varmış. Bir doğrudan başlayıp, üçe bölüp ortadaki üçte biri kaldırıp, sonra kalan her üçte bire aynı işlemi uygulamayı tekrar ederek ortaya çıkan noktacıklardan ibaret olan Cantor tozunu Mandelbrot, kablolardaki veri transferinde ortaya çıkan hatanın dağılımı ile ilişkilendirmişti. Aynı işlemin üç boyutlu hali olan Menger süngeri bir küpün merkezindeki küpün kesilip çıkartılması ve kalan dokuzda bir boyuttaki diğer sekiz küpe de aynı işlemin uygulanmasından oluşmaktadır. Sonsuz yüzey ve sıfır hacme sahip bu yapı Eiffel Kulesi ile inşaat teknolojisine girmiş ve bu alandaki belki de en kullanışlı çözüm olmuştur.  

 

ImageYirminci yüzyılın son çeyreğinde ismine kavuşan bu matematik dalının doğada sayısız örneklerine işaret eden başka bilim adamları da oldu. Bir eğrelti otunun yapraklarının diziliminden bir şimşeğin izlediği yola, bir camdaki çatlağın çıkardığı desenden akciğerlerimizin içindeki bronşların ve damar sistemimizin yapısına kadar fraktal geometri içinden evrenin doğduğu, o ilk gaz ve toz bulutlarından beri kendi minik örneklerini içinde barındıran bir düzen olarak mevcut. Bunu idrak ettikten sonra benim için anlaması asıl zor olan şey bunu keşfetmek için neden bu zamana kadar beklediğimiz!

 

Kaynakça;

Kaos, Yeni Bir Bilim Teorisi, James Gleick, Tübitak Yayınları, 1995

Raslantı ve Kaos, David Ruelle, Tübitak Yayınları, 1994

 

 

www.matematikgeometri.com

 

 

 

 

 

 

FRAKTAL ve FRAKTAL GEOMETRİ            (Ünv. veya daha üst seviye birkaç yerinde eksik var)

 

İlk matematiksel fraktal kavramı 1861 de keşfedildi. Karl Weierstrass sürekli fakat hiçbir noktada diferensiyellenebilir olmayan , yani köşe noktalarından oluşan bir eğri üzerindeki değişmeleri araştırken, hiçbir noktada değişme oranının bulunamayacağı kanaati ile sarsılmıştır. Fraktal kelimesini Weierstrass bu cins eğriler için ilk defa kullanmıştır.

Matematik anlamda ilk çalışılan fraktal, Cantor Cümlesidir. Cantor (1845-1918) Halle Üniversitesi'ndeyken matematiğin temel konularından olan ve günümüzde Cümle Teorisi olarak adlandırılan alanı kuran bir Alman matematikçidir.

Cantor cümlesi ile ilgili ilk çalışma 1883 de basılmış  [G. Cantor, Über Unendliche, lineare punktmannigfaltigkeiten V, Mathematische Annalen 21 (1883) 545-591] ve bazı özel cümleler için örnek olarak gösterilmiştir. Cantor cümlesi hiçbir yerde yoğun olmayan, mükemmel (perfect) alt cümlelere bir örnektir. Fraktalların tarihi gelişiminde Cantor, Sierpinski, Von Koch, Peano gibi matematikçiler tarafından oluşturulan fraktallar matematiksel canavarlar olarak adlandırılır. Matematiksel canavarların bahçesinde veya ilk fraktalların ortaya çıktığı zamanlarda Cantor cümlesi görünüş açısından diğerlerinden daha az gösterişli olmasına ve diğerlerine göre doğal yoruma daha uzak olmasına rağmen oldukça önemlidir. Cantor cümlesinin, matematiğin pek çok alanında özelikle Kaotik Dinamik Sistemlerde önemli rol oynadığı ve pek çok fraktallar (Julia cümleleri gibi) için de gerekli bir model olduğu görülmektedir.

Etrafımızda, parlak, tuhaf, güzel şekilli cisimler görürüz. Bunlara Fraktal denir. Gerçekten bunlar nedir?

İnternette fraktallar hakkında çok fazla bilgi vardır, fakat bu bilgilerin büyük kısmı ya güzel resimler veya yüksek seviyeli matematiksel kavramlarla ilgilidir. Dolayısıyla kolayca anlaşılır bir ifade ile diyebiliriz ki fraktallar tuhaf  resimleri olan cisimler, matematiksel nesnelerdir. Okulda karşılaştığımız matematiğin çoğu eski bilgilerdir. Örneğin, geometride karşılaştığımız çemberler, dörtgenler ve üçgenler M.Ö. 300 üncü yıllarında Öklid tarafından ortaya konulmuştur. Buna rağmen Fraktal Geometri daha çok yenidir. Fraktallar üzerinde matematikçiler tarafından araştırmalar son 25 yıldır başlamış bulunmaktadır.

VON KOCH EĞRİSİ

Burada bir doğru parçası ile başlıyoruz. Doğru parçasını üç eşit parçaya ayırıyoruz ve ortadakini alıyoruz. Onu bir eşkenar üçgen şeklinde dışa doğru tamamlıyoruz. Böylece dört eş doğru parçasından oluşan bir kırık çizgi elde etmiş oluyoruz. Buna motif veya oluşturucu denir. Eğer öncü doğru parçası 1 uzunluğunda seçilirse, motif her biri  uzunluklu dört parçadan oluşur. Dolayısıyla motif'in toplam uzunluğu  olur.

Benzer biçimde dört parçadan her birini öncü kabul ederek aynı işlemle birer motif haline getiririz. Böylece 2. adımdaki şekli elde ederiz. Bu son halde  eş doğru parçası yer alır.

Bu eğrinin total uzunluğu olur. Benzer şekilde bir adım daha devam edilirse 3. adımda  doğru parçası elde edilir. Her birinin uzunluğu   olan eş doğru parçasından oluşan bir eğridir. Bu eğrinin toplam uzunluğu olur.

Bu fraktalın boyutu : Boyutu D ile gösterirsek    ile hesaplanır. Burada N fraktalın oluşumundaki  parça sayısını ve a da her parçanın uzunluğunu göstermektedir. 2. Şekle göre  dür. 1.Şekle göre   olduğundan   olur. 3.Şekle göre   ve  olduğundan   olur. 4. Şekle göre  ve  olduğundan  olur. O halde

        (aynı)

veya


dır. Limit halde, öncü doğru parçasının bütün orta parçaları hızlı bir şekilde uzaklaşacak ve geriye tam bir Cantor Cümlesi kalacak. O halde Koch Eğrisi de kendine benzerdir. Her bir küçük parça bütünün bir minyatür kopyası olacaktır. Bu nedenle Koch Eğrisi de bir Cantor Cümlesi olacaktır.

KOCH KARTANESİ

Üçgenlere ayrılarak bir kafes biçiminde çizilmiş bir sayfa kağıt alalım.

I.  Adım: Geniş bir eşkenar üçgen çizelim.

II. Adım: Altı adet sivri köşesi olan bir yıldız elde etmek için:

Üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya ayıralım ve ortadaki parçayı alalım.

2. Boşta kalan iki uca aldığımız bu parçadan birer tane bağlayalım ve uçlarını üçgenin dış tarafında birleştirelim.

3. Bu işi eşkenar üçgenin diğer iki kenarı üzerinde de yapalım. Böylece eşkenar üçgenden altı köşeli bir yıldız elde etmiş oluruz.

Ortaya çıkan bu yıldızın sahip olduğu altı eşkenar üçgenin her birinde II. Adım tekrarlanarak ikinci tekrardaki şekli elde ederiz.

Bu işe devam edersek çevre uzunluğu sonsuz olan bir grafik  elde ederiz . Şu halde KOCH  Kartanesinin  ilginç karakteristiği onun çevresidir. Normalde, bir geometrik şeklin çevresini büyütürseniz alanını da  büyütmüş olursunuz. Eğer çevresi çok uzun olan bir kare alırsanız alanı da çok büyük olan bir kare almış olursunuz. Şimdi burada ne olduğuna bakalım:

Yaptığımız iş şu idi:

Bir eşkenar üçgenin bir kenarını üç eşit parçaya böldük ve ortadakini çıkardık.

Çıkardığımız parça ile eşit uzunluklu iki parçayı bir   V  harfi gibi birleştirerek üçgenin kenarında boş kalan iki ucu bağladık.

Bu işi üçgenin her kenarı için de yaptık. Ve böylece devam ettik.

Bu fraktalın boyutu:  2.Şekle göre   ve  olduğundan  boyut formülünün kullanırsak  dır.

TERS KARTANESİ

Bu yeni fraktal Koch Kartanesinin ilginç bir değişimi olacak.

Büyük bir eşkenar üçgenle başlayalım. Eğer üçgenlerle kafeslenmiş bir kağıt kullanırsanız üçgeninizin kenarlarını 9 kafes uzunluğunda (veya 3 ün başka katları olabilir) seçin.

I. Adım: Üçgenin bir kenarını üç parçaya bölelim ve ortadaki parçayı alalım.

Bu parçalardan bir tane daha bularak V şeklinde ekleyip çıkardığımız yeni üçgenin içine doğru dolduralım.

Üçgenin geri kalan iki kenarına da aynı işlemi uygulayalım.

Böylece bir fırıldak şekli elde etmiş oluruz.

II. Adım: Bu metodu fırıldakta yer alan yeni üçgenlerle tekrarlayalım. Böylece yukarıda şekiller dizisini elde ederiz.

Bu fraktalın Boyutu:  Koch Kartanesinin ki ile aynıdır.

SİERPİNSKİ ÜÇGENİ

Polonyalı matematikçi VACLAV SİERPİNSKİ (1882-1969) 1916 yılında, daha sonra kendi adıyla anılan ve Sierpinski Üçgeni veya Sierpinski Şapkası (Sierpinski Gasket) veya Sierpinski Kalburu (Sierpinski Sieve)  da denen bir fraktal tanıttı. Bu şeklin 12.yüzyılda bir kilisede süsleme olarak çizili olduğu da biliniyor.

Örneğin, üçgen gibi alışılmış bir geometrik şekil alalım ve üzerinde daha karışık bir yeni şekil elde edecek biçimde belirli bir işlem yapalım. Bu işlemi, aynen uygulamaya devam ettikçe daha karışık bir şekil elde ederiz. Bu işlemi tekrar tekrar uygulamaya devam edelim. O zaman, yukarıda şekli görünen ve Sierpinski Üçgeni denen meşhur fraktal elde edilir.

I. Adım :  Kenar uzunluğu 2 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Her kenarının orta noktalarını işaretleyelim ve bu orta noktaları birleştirelim. Böylece dört tane yeni eşkenar üçgen elde etmiş oluruz. Merkezde kalan üçgeni karalayalım ve sonra da merkezdekini kesip atalım.

II. Adım:  Kenar uzunluğu 4 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Kenarlarının orta noktalarını birleştirelim. Elde edilen dört yeni eşkenar üçgenden merkezdekini  birinci adımda olduğu gibi karalayalım. Sonra da köşelerde yer alan ve karalanmamış olan üç adet üçgenin her birini aynı işleme tabi tutalım.

III. Adım : Kenar uzunluğu 8 birim olan bir eşkenar üçgen çizelim. Yukarıdaki işlemleri aynen tekrar ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım. Benzer şekilde boyama işini de yapalım. Boyanmış olanları kesip çıkaralım. Böylece 1 adet büyük, 3 adet ortanca ve 9 adet küçük ve boyanmış eşkenar Üçgene sahip olacağız.

IV. Adım:  Bir duvar kağıdından bu işi yapalım. Yukarıdaki adımları sırasıyla takip ederek Sierpinski Üçgenini tamamlayalım.

Sierpinski Üçgeni pür matematik alanında bir zihinsel üründür. Benzer şekilleri deniz kabuğunda ve hücre çoğalmalarında da görebiliriz.

Bu fraktalın Boyutu:  ve  olduğundan  boyut formülüne göre  dır.

PASCAL ÜÇGENİ VE SİERPİNSKİ ÜÇGENİ ARASINDAKİ İLİŞKİ

Blaise Pascal'ın sayılara ait üçgen modelini hatırlayınız. Bu üçgeni yukarıdaki şekilde görüyorsunuz. Bu üçgene Pascal Üçgeni denir.

Pascal üçgenindeki küçük üçgenlerden içinde çift sayı bulunanları boyayalım. Ortaya çıkan Pascal Üçgenini yukarıdaki üçgenle karşılaştıralım. Böylece Pascal Üçgeninden Sierpinski Üçgenini elde etmiş oluruz.

SİERPİNSKİ HALISI

I. Adım:  Kenar uzunluğu 9 birim olan bir kare alalım. Kenarlarının her birini üçer eşit parçaya ayıralım. Karşılıklı olarak bu ayırım noktalarını birleştirelim.

II. Adım:   Oluşan dokuz eş kareden merkezdekini kesip çıkaralım.

III. Adım:  Geri kalan sekiz eş karenin her biri için aynı işi tekrarlayalım.

IV. Adım:  Elde edilen şekle aynı metodu tekrar  uygulayalım.

Sonuçta elde edilen  şekil çoğu zaman Cantor cümlesinin bir genellemesi olarak görülür.

Bu fraktalın boyutu: I. Adıma göre   ve  olduğundan  dır.

CANTOR ORTA ÜÇLÜLERİNİN CÜMLESİ

Cantor Orta Üçlülerinin Cümlesi, birim doğru parçasının üç eşit parçaya bölünmesi ve ortadaki üçte bir parçasının atılması, daha sonra geriye kalan iki parçanın da aynı işleme tabi tutulup ortalarındaki üçte birlik parçalarının atılması ve tekrar geriye kalan dört parçanın her biri için aynı işlemden sonra ortadaki parçalarının atılması ve bu işleme devam edilmesiyle oluşturulur.

Cantor cümlesinin kutu-sayma boyutunu hesaplamak için, git gide küçülen kutularla Cantor cümlesini örteriz.

Bu fraktalın boyutu:             ( Çünkü ilk şekle göre   ve  dır.)

Diğer bir  kutu sayma hesabına göre :

ve genel olarak

bulunur.

Bu fraktalın kutu-sayma boyutunu hesaplamak oldukça kolaydır.

PİSAGOR AĞACI

Bitki fraktallarının oluşumuna ait  bir yol  Pisagor Ağacı  yoludur, bu yola fraktal gölgelik de denir. Bu yol, doğruların ayrılmasından ibarettir, dallanmaya çok benzerdir. Doğrular yerine kareler ve üçgenler kullanılarak aşağıdaki şekle benzer bir oluşum ortaya çıkar.

Bu cins bitki fraktallarının en önemli özeliği uç noktalarının irtibatlı oluşudur. Dalların uç noktaları bir yüzey üzerinde birleşirler, tıpkı kara lahanada olduğu gibi.

 Bir diğer yol da tekrarlayan fonksiyon fraktallarında olduğu gibi, bir eğrelti otunu oluşturan yoldur.

KESİRSEL BOYUTUN DOĞUŞU

Bir noktanın boyut'u yoktur, uzunluğu, genişliği hatta yüksekliği de yoktur. Aşağıdaki  şekli ne kadar büyük çizilirse çizilsin bir nokta olduğu bilinirse noktanın ne olduğu malum olduğuna göre bu şekil bir nokta gösterir ve boyutu  P'dir.

Bir doğrunun boyutu 1 dir, bu boyut onun uzunluğuna karşılık gelir. Doğrunun da genişliği ve yüksekliği yoktur. Fakat uzunluğu sonsuzdur.

Genişliği  olan fakat boyu sonsuz olan bir doğru nasıl çizilir? Bu öğrenme işinin sonucu olarak bilinen bir şeydir.

Bir düzlem iki boyutludur, bunlar uzunluk ve genişliktir, fakat derinlik (ya da yükseklik) yoktur.

Düzlemi, masanın üst yüzü olarak düşünürseniz uzunluğunu ve genişliğini sınırlamayız.

Uzay, öyle büyük fakat boş bir kutudur ki bu kutunun boyu, eni ve derinliği (yüksekliği) her yönde istenildiği kadar genişletilebilir. Dolayısıyla uzay 3 boyutludur. Elbette uzayı aşağıdaki kutu yerine bir altıgen prizma ile de temsil edebilirdik.

Fraktallar, kesirsel boyutlara sahip olabilirler. Örneğin  fraktal 1.6 veya 2.4 boyutlu olabilir. Bunun neden ve nasıl böyle olabileceğini görelim.

Sierpinski Üçgenini ele alalım. Bunun ilk fraktal örneği olduğunu biliyoruz. Bu, gerçekten 1 in yaklaşımlarından sadece bir tanesidir.

Şimdiye kadar verdiğimiz örneklerde de gördüğümüz gibi fraktallar sonsuz adımlardan oluşan bir algoritmanın sonucu olarak ortaya çıkarlar. Aşağıdaki şekilde bu adımlardan sadece üç tanesini görüyorsunuz. Dolayısıyla Sierpinski Üçgeni denen fraktal içinde giderek küçülen sonsuz çoklukta küçük üçgenler vardır.

Fraktalların kesirli boyutlara nasıl sahip olduklarını görebilmek için önce genel olarak boyut demekle neyi kastettiğimizi görelim.

Bir doğru parçası ve onun uzunluğunun  iki katındaki diğer bir doğru parçasından oluşan bir kendine benzer şekli ele alalım. Uzunluğu iki misli almakla esas doğru parçasının iki kopyasını almış olduk.

Diğer bir kendine benzer şekil olarak  tipinde bir kare ile onun uzunluğunun ve genişliğinin 2 şer katlarından oluşan diğer bir kareyi ele alalım. Böylece esas karenin dört kopyasını elde etmiş olduk. Demek oluyor ki kenarları katlama işi bize dört kopya verdi.     

Şimdi de  tipinde bir küp alalım. Uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini katlayalım. Böylece esas küpün sekiz kopyasını elde etmiş oluruz. Demek ki bu defa katlama işi bize sekiz kopya vermiş oldu.

Bu bilgileri bir tabloda toplayalım. Burada   bir model görüyoruz. O da şudur, boyut üs'dür. Demek ki kopya sayısını biliyor isek onu 2 nin üstel kuvveti olarak ifade ederiz ve bu üs bize boyut olarak gelmiş olur. 

Şekil

Boyut

Kopya Sayısı

Doğru Parçası

1

 

Kare

2

 

Küp

3

 

 

Yukarıdaki tabloya bir satır daha ekleyelim.

Şekil

Boyut

Kopya Sayısı

Doğru Parçası

1

 

Kare

2

 

Küp

3

 

Herhangi bir kendine benzer şekil

 

 

Şimdi artık, Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutunu verebiliriz. Kenar uzunlukları 1 er cm olan bir Sierpinski Üçgeni ile başlayalım. Kenarların uzunluklarını katlayalım. Atılan üçgenler Sierpinski Üçgeninin bir parçası olmadıklarından (onlar birer deliktirler) bu katlama işi bize üç kopya verecektir.       O halde yazabiliriz, burada  boyuttur. O halde buradan olur.  ve  olduğuna göre  deki  değeri 1 ile 2 arasındaki bir değerdir. Bunu da tablomuza ekleyelim.

Şekil

Boyut

Kopya Sayısı

Doğru Parçası

1

 

Sierpinski Üçgeni

 

 

Sierpinski Halısı

 

 

Kare

2

 

Küp

3

 

Herhangi bir kendine benzer şekil

 

 

O halde Sierpinski Üçgeninin boyutu 1 ile 2 arasındaki bir sayıdır. Hesap makinanız yardımı ile  eşitliğinde  ye 1.1 verirseniz, 3 yerine 2.143547 ve 3 e daha yakın bir değer için  ye 1.2 verirseniz, 3 yerine 2.2974 elde edersiniz. Bu ikincisi 3 e daha yakındır. Bu şekilde devam ederseniz  ye daha uygun bir değer bulursunuz. 3 e yakın değeri veren  sayısı Sierpinski Üçgeni denen fraktal'ın boyutudur, bu da  dir. Bu da bize fraktalların boyutlarının nasıl birer kesirli sayılar, kesirli boyut olabileceklerini göstermektedir.

KOMPLEKS TEKRARLAMA(Dinamik sistem)

Kompleks sayıları kullanarak Mandelbrot Cümlesini ve Julia Cümlelerini oluşturmak mümkündür. Bunun için  ve  kompleks sayılar olmak üzeredönüşümü esas alınır.  kompleks sayısından başka bir  kompleks sayısı daha alalım ve  kompleks sayılarının dizisini olarak yazalım. Bu yolla Mandelbrot Cümlesi ve Julia Cümleleri oluşturulabilir. Julia tipindeki cümleler ile Mandelbrot Cümlesi birbirinden ayırt edilebilir. Bu metodu kısaca açıklayalım.

İlk olarak kompleks sayılar kullanmadan formülasyon hazırlanır.  kompleks sayısı  ve  reel sayılarının bir ikilisi olarak düşünülür  ve  kompleks sayısı da reel sayıların belli bir  iklisi olarak alınır. O zaman  dönüşümü, olduğundan dinamik sistemini verir.

JULİA TİPİNDEN CÜMLELERİN AYRILMASI

Her bir   sabit kompleks sayısı için  ile gösterilen bir Julia cümlesi vardır. Eğer  ile gösterilen doldurulmuş Julia cümlesini tanımlarsak bunu tanımak kolaydır. Düzlemin her bir  noktası içingenel ifadesi yardımı ile dizisi elde edilir. Eğer dizi sonsuza gitmiyorsa  dir, eğer dizi sonsuza gidiyorsa  dir. Örneklere geçmeden önce  nin tanımının üç bilgisayar görünümünü verelim.

1. Matematikte her ne kadar düzlemin bütün  noktalarını ele alabiliyorsak da pratikte kompleks düzlemin sadece bir parçasını düşünürüz ve bu düzlem parçasının içinde  ların sonlu bir kolleksiyonunu alırız. Resimlerin büyüklüğü nedeniyle her bir küçük bölgenin merkezini  olarak alırız. Örneğin  ebadındaki bir düzlem parçası için  adet kutucuk gerekir.

2. Bir dizi sonsuza nasıl gider? Örneğin dizideki bir elemanının merkezden uzaklığı 2 den büyük oluyorsa dizinin diğer elemanlarının orijinden uzaklıkları sonsuz olarak alınır. Bu demektir ki dizi sonsuza gidiyor. O zaman merkezden uzaklıkları 2 ve 2 den küçük kalacak şekildeki diziler sonsuza gitmiyor.

3. Kabul edelim ki  lerin hepsinin orijinden uzaklığı 2 olsun. Bu durumda dizinin sonsuza gitmeyeceğini söyleyemeyiz, çünkü belki   ün orijine uzaklığı 2 den büyük olabilir. Bu durumda  bir seçim yapmalıyız. Tekrarlamanın bir  maksimum sayısını seçeriz. Eğer  lerin hepsi orijinden 2 uzaklığında iseler o zaman dizinin sonsuza gitmediğini söyleyebiliriz ve dolayısıyla  dir deriz. Böylece bazı noktaların   ye ait olduklarını kabul etmiş oluruz. Bu kabulde en az  hata yapmış olduğumuz en büyük   sayısı önemlidir. Diğer yandan bu en büyük  sayısı da bilgisayarın daha çok zamana ihtiyacını gerektirir.

Bu algoritma hangi küçük kutucukların  ye ait merkezlere sahip olduğunu belirtir. Bu kutucukları siyah ile boyarız. Eğer bir başka  ile başlayan dizi sonsuza gidiyorsa  'ı  merkez kabul eden kutucuğu başka bir renk ile boyarız. Böylece orijinden uzaklığı 2 den büyük olan kaç deneme yaptığımızı da göstermiş oluruz.

Örneğin, ilk deneme-de eğer bir miktar tekrarla-mayı kırmızı ile boyadı isek, sonra ikinci deneme-dekileri de portakal  rengin-de boyayalım,..., böylece devam edelim. Bu durumda aşağıdaki renkli görüntü ortaya çıkar. Bunu elde edebilmek için bilgisayar yukarıdaki dinamik sistemi milyonlarca defa uygulamıştır.

Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU                                             www.matematikgeometri.com

 

http://juliamandelbrot.bravepages.com/031.jpg

 

 

http://bp0.blogger.com/_IGKwVDvmjyc/R6gxGHJ-T0I/AAAAAAAAAVw/NzlyBMWF1zw/s320/x00157ai.jpg