MATEMATİK ve DOĞA  MAKALELERİ     

                                                                           

      1-) DOGADAKİ MATEMATİK               

                                                                            

      2-) DOĞANIN GEOMETRİSİ:FRAKTAL GEOMETRİ       

                                           

      3-) MATEMATİK VE DOĞA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

DOĞADAKİ  MATEMATİK

   

http://www.annebabaokulu.net/images/sneezewort%5b1%5d.gif

 

Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız değildir. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldarlar. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Rakamları hangi

sistemde grafiğe dökerseniz dökün bir şablon çıkar. Bu yüzden doğada her yerde şablonlar vardır. Kısacası,

 

1) Matematik doğanın dilidir.
2) Etrafımızdaki her şey sayılarla tanımlanabilir ve anlaşılabilir.

 

İşte doğanın matematiği.

 

Doğadaki Matematik-1

 

  http://www.annebabaokulu.net/images/image002.jpg

Eşkenar üçgen ve kar tanesi

Bir eşkenar üçgenin her kenarının ortasındaki üçte birlik kısmı alın. Bunlarla şekildeki gibi yeni bir üçgen oluşturun. Yeni üçgen şekil olarak aynı ve büyüklük olarak ilkinin üçte biri kadardır. Böylece devam edildiğinde, ideal bir kar tanesi elde edersiniz.

    

Bir sığırın canlı ağırlığı

Bir sığırın canlı ağırlığını bulmak için, göğüs çevresinin karesi ile vücut uzunluğu ve 87,5 kat sayısı çarpılır.

               

P= c2.h.87,5

 

(C: Göğüs çevresi,    h: vucut uzunluğu,    p: sığırın canlı ağırlığı.)

   

Çır çır böceği ile hava sıcaklığı arasındaki ilişki

Çır çır böceğinin sesleri ile hava sıcaklığı arasında bir ilişki vardır. Dolayısıyla hava sıcaklığını aşağıdaki formül ile fahranayt cinsinden bulabiliriz.

 

T= 0,3.N+40

(T: hava sıcaklığı, N: çırçır böceğinin bir dakikada çıkardığı ses sayısı)  

 

Doğadaki her şeyin birbirleriyle ilişkisi

Bir gölün alanını bulma ile bir taşın yukardan düşme hızı arasında bir ilişki olabileceği çoğumuzun aklına gelmez. Böyle bir ilişkinin varlığını matematik ile anlayabiliyoruz. Gölün alanı integralle, taşın düşme hızı türev ile bulunur. Türev ise integralin tersidir.

 

Köpeklerin en uygun yolu seçmesi

Matematikçi Tim Pennings 2003 yılında yayımlanan makalesiyle, köpeği Elvis'in matematiksel analiz yaptığını dünyaya duyurmuştu. Suya atılan topun peşine düşen Elvis, çoğu zaman önce kumsal boyunca biraz koşup, daha sonra suya dalarak en kısa sürede topa ulaşıyordu. Suda farklı, karada farklı hızla ilerleyebilen köpek, A noktasından B noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için hangi noktada suya girmesi gerekiyorsa, o noktada suya atlıyordu.                       www.matematikgeometri.com

 

 

Doğadaki Matematik-2:Gezegenler ve matematik

Her gezegen odaklarından birinde güneşin bulunduğu eliptik yörüngede hareket eder ve gezegeni güneşe birleştiren çizgi , eşit zamanlarda eşit alanlar tarar. Gezegenlerin yörüngelerinin ortalama yarıçapları yani herhangi bir gezegenin güneşe olan uzaklığı R ve yörüngedeki dönme periyotları T olmak üzere R³/T² oranı bütün gezegenler için aynıdır. Daha da önemlisi, bu ilişkinin ileride Newton’ un formüle edeceği yerçekimi yasasına sağladığı ipucudur. Oysa Kepler bu buluşuna, arayış içinde olduğu “kürelerin müzikal uyumunun” formülü gözüyle bakıyordu.   

 

Arşimed spirali ve örümcek ağı

Bu spirali Arşimed keşfettiği için Arşimed spirali olarak bilinir. Örümceğin, merkezden başlayarak eşit uzaklık ve sürekli bir çizgi ile ördüğü ağ, bu spirale iyi bir örnektir.  

 

Arılar ve altıgen

Arılar, peteklerini birim alanının tamamen kullanılması ve en az malzemeyle petek yapılması için altıgen şeklinde yapmaktadırlar. Ayrıca, dişi bal arılarının yaptıkları petek gözeneklerinin açısı 70 derece 32 dakikadır.

 

Karıncalar ve vektörler

Sahra çölü karıncaları yön bulmada yol entegrasyon sistemini kullanırlar. Bu sistemde karınca, yuvadan çıktıktan sonra yaptığı yürüyüş ve dönüş hareketlerinin toplamını, yuvaya olan uzaklığını hesaplamak için kullanır. Karınca, yuvasına olan mesafeyi küçük segmentlere böler; her bir segment uygun yön ve uzaklık vektörünü taşır. Bu vektörlerin toplamıyla yuvanın uzaklık ve yönünü veren 'homing vektörü' elde edilmiş olur. www.matematikgeometri.com

 

 

 

Doğadaki Matematik-3:Pi Sayısı ve Doğa

  

Bütün çember şeklindeki şekillerin çevre uzunluğunu çapına (kalınlığına) böldüğümüzde pi sayısını elde ederiz. Pi sayısın basamaklarında hep bir ilişki aranmıştır. Örneğin:

Pi sayısının sonsuza kadar devam eden basamaklarında 360. sırada 360 sayısı bulunmaktadır.
Pi sayısının ilk 144 basamağının toplamı 666 ya eşittir. 144 ise (6+6)*(6+6) ya eşittir.

 

Atmosferik basınç ve pi Sayısı
Atmosferik basınç sayısı P= 0,101325 dir. P nin karekökünü alıp 1’e böldüğümüzde Pi sayısını yaklaşık olarak bulabiliyoruz.

Filin yüksekliği ve pi sayısı
Bir filin ayağı daire şeklindedir ve ayağının çapını ölçüp 2 ile çarptığınızda filin yüksekliğini tahmin edebiliriz.
                      www.matematikgeometri.com

 

 

Doğadaki Matematik-4 (e sayısı ve doğa)

 

1 + (1/1!) + (1/2!) + (1/3!) + ... + (1/n!)

serisinin toplamı "e" sayısını verir. Değeri:

e = 2.71828182... dir. Matematikteki üç ünlü sayıdan biridir. Diğer ikisi pi ve i sayılarıdır ve kendi aralarında çok güzel bir harmoni oluştururlar yani

e i.pi =-1 

Matematik ve Hayal kitabında bu formül için şöyle yazar: “Zarif, kısa ve anlam dolu. Uygulamalarının ise sonu gelmiyor”. Matematikçi B.Peirce ise şöyle demişti: “Ne demek istiyor bilmiyoruz. Fakat onu kanıtladık”.

Ayrıca, e sayısının ilk altı basamağının, pi sayısının basamaklarında şu ana kadar sekiz kez tekrar ettiği bulunmuştur.

Doğada pek çok faaliyet e sayısındaki karekteristiğe sahiptir. Örneğin, böcek bilimcisi J.H.Fabre Örümceğin Hayatı kitabında, sisli sabahlarda örümcek ağlarının su damlacıkları ile yüklenerek yanar döner elmasları andıran zincir eğrileri çizdiğini anlatır ve şöyle der: “... ve bu ağların şanını e sayısı oluşturuyordu”.                      www.matematikgeometri.com

 

 

 

Doğadaki Matematik-5 (Fibonnaci Sayısı ve Doğa)

 

Bu sayı, 1'den başlamak üzere kendisinden önceki iki sayının toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir. Yani 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.... şeklinde ilerlemektedir.

Fibonnaci sayısı pascal üçgeninden de elde edilebilir. Pascal üçgenin köşegenlerindeki sayıları topladığınızda Fibonacci serisini görebiliriz.


Papatyalar ve Fibonnaci sayısı
Papatyalar büyürken her dal Fibonacci serisine uyarak yükselmektedir.

Işığın yansıması ve Fibonnaci sayısı
Birbirine yapışık iki tabaka camda ışığın yansıması için şu kural vardır:

1.kere yansıması 2 biçimde
2.kere yansıması 3 biçimde
3.kere yansıması 5 biçimde…

Bunlar Fibonnaci sayılarıdır.                www.matematikgeometri.com

 

Doğadaki Matematik-6 (Altın Oran ve Doğa)

 

Altın Oran, pi sayısı gibi irrasyonel bir sayıdır. PHI (Fi) ile gösterilir. Göze en hoş gelen, en estetik oran olduğundan bu isim verilmiştir. Bu sayı = 1.618033988.... şeklinde sonsuza kadar devam eder.  Doğada pek çok yapı altın oranı içerir.

 

DNA ve altın oran

DNA molekülü tüm yaşamın programını taşımaktadır. Temelinde de altın oran bulunmaktadır. Her tam turunda 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğindeki çift heliks spiral yapısı ile altın oranı bünyesinde bulundurmaktadır ve 34/21= 1.619 sayısını vermektedir.

 

Kar kristali ve altın oran

Kar kristalini oluşturan kısalı uzunlu dallanmalarda, çeşitli uzantıların oranı altın oranı verir.  www.matematikgeometri.com

 

 

 

Doğadaki Matematik-7 ( İnsan Vücudu ve Matematik )

 

Üst çene ve altın oran

İdeal üst çenedeki ön iki dişin enlerinin toplamının boylarına oranı altın oranı verir. Bunlar bir dişçinin dikkate alabileceği en ideal oranlardır.

 

Kollar ve altın oran

İnsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır (üst bölüm ve alt bölüm olarak). Kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı vereceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

 

İnsan boyu ve altın oran

insanın boy ölçüsünün göbek boyuna oranı yaklaşık olarak altın oran çıkmaktadır. Bir insanın boyuna x diyelim. Göbek deliğinden yere olan yüksekliğe ise y diyelim. x/y=1.618 dir. Yani altın oran.

 

Ayak boyu

Bir insanın el bileği ve dirseği arasındaki mesafe, o kişinin ayak boyuna eşittir.

 

Kulaç mesafesi boy uzunluğuna eşit

Kollarınızı sağa ve sola açtığınızda iki uç nokta arasındaki mesafe boyumuzun uzunluğuna eşittir.

 

Kalp şekli ve koordinatlar

Denklemlerin polar koordinatlarda gösterilmesi sayesinde pek çok ilginç şekil elde edilebilir. Bu şekilde oluşturulan şekillerden birisi de 'kalp'tir. Kalp şeklini elde etmek için kulanılabilecek en basit denklem

 

r=b+a*cosV

 

dir. Bu kalp şekli aynı zamanda cardioid olarak da bilinir. www.matematikgeometri.com

 

 

DOĞANIN GEOMETRİSİ: FRAKTAL GEOMETRİ     (Güzel açıklanmış.ortaokul ve lise için uygun)                                                                     

 

Matematiğin önemli bir kolu olarak geometri, insanoğlunun doğayı nasıl algıladığı ile yakından ilişkilidir. Algılama biçimleri geliştikçe, daha ileri geometrik yaklaşımlar ortaya konmuştur. Bir mağara duvarına çizilen resimler bile belli bir geometrik yaklaşımı yansıtmaktadır. Diğer bir deyişle mağara duvarına resim yapan kişi, örneğin bir boğayı en azından belli bir oranda küçülterek çizmesi gerektiğini bilmektedir.

 Yerleşik hayata geçilmesiyle  geometrinin önemi ve geometriye duyulan gereksinim daha da artmıştır. Tarihte Mısırlılar ve Babilliler geometriye önemli katkılar yapmışlardır. Eski Mısır’da Nil Nehri’nde meydana gelen peryodik taşkınlar tarla sınırlarını ortadan kaldırıyordu. Durum normale döndükten sonra tarla sınırlarının yeniden belirlenmesi gerekmekteydi. Mısırlılar bu sorunun üstesinden  geometri bilgisini kullanarak gelmeyi başardı.  Diğer taraftan Mısır matematiğine ilişkin araştırmalar, Mısırlıların hem küre yüzeyini hem de kesik piramidin hacmini bildiklerini göstermektedir. Babilliler ise arazi ölçümü yapabiliyor ve ikinci dereceden denklemleri çözebiliyordu.  

 Euclides geometrisi 2000 yıldan fazla bir zamandır  hakimiyetini sürdürmektedir. Bu klasik geometri anlayışında doğada karşımıza çıkan şekiller; doğrular ve düzlemler, daireler ve küreler, üçgenler ve koniklerden ibarettir. Bu şekiller gerçeğin güçlü bir soyutlamasından ibarettir.  Doğada var olan karmaşık yapıyı anlamak ve modelleyebilmek için yukarıda bahsedilen soyut  şekillerin yeterli olmadığı artık  bilinen bir gerçektir.

 Yakından incelendiğinde doğadaki nesnelerin Euclides geometrisindeki şekillere hiç benzemediği görülecektir.  Tam küre şeklinde olan bir tane bile elma ya da bulut bulunamaz veya tam koni şeklinde olan bir dağ hiç bir zaman yeryüzünde olmadı. Benzer şekilde doğada gövdesi silindir şeklinde olan bir ağaca, bir hat boyunca ilerleyen yıldırıma ya da tepsi gibi düz bir ovaya rastlanamaz.  Özetle doğayı daha iyi anlayabilmek ve modelleyebilmek için yeni bir  geometriye gereksinim vardır.

 Yukarıda sözü edilen yeni geometrinin adı “ fraktal geometri”dir.  Bu isim Fransız bilim adamı Benoit Mandelbrot tarafından verilmiştir. “Fraktal” kelimesi Latince “fraktus (kırık taş)” kelimesinden türetilmiştir. Fraktal geometrinin yarattığı evren, yuvarlak veya düz olmayan; girintili çıkıntılı, kırık, bükük, birbirine girmiş, düğümlenmiş vb şekillerden oluşan bir evrendir. Bu evren Euclid geometrisinin tasvir ettiği türden sıkıcı ve tekdüze bir evren değildir; tersine gözlemciye her ölçekte ayrı bir dünyanın kapılarını aralar. Fraktal bir nesneye bakan gözlemci, matematikdeki “sonsuz” kavramının nasıl somuta dönüştüğüne tanık olur.

 Fraktal bir şeklin neye benzediğini daha iyi anlayabilmek için Mandelbrot’un  İngiltere sahilleri için sorduğu soruyu biz Türkiye sahilleri için sorarak başlayalım: “Türkiye sahillerinin toplam uzunluğu nedir?” Mandelbrot’un iddiasına göre,  her sahil  bir bakıma sonsuz uzunluktadır, diğer bir deyişle, sorunun cevabı kullanılan cetvelin uzunluğuna bağlıdır. Örneğin açıklığı bir metre olan bir pergel ile Türkiye sahillerinin uzunluğu ölçüldüldüğünde, bulunan değer yaklaşık bir tahminden ibaret olacaktır. Çünkü pergel bir metrenin altındaki girinti ve çıkıntıların üzerinden atlayacaktır. Pergel açıklığı yarım metreye indiğinde, bu uzunluk ölçeğindeki ayrıntılar da hesaba katılmış olacaktır.  Dolayısı ile daha  hassas bir ölçüm için her seferinde pergel açıklığını biraz daha küçültmemiz gerekecektir. Sonuçta bulmuş olduğumuz sahil uzunluğu, kullanılan uzunluk ölçeğine bağlı olacaktır. Örneğin bir uydudan ölçülen Türkiye sahillerinin uzunluğu, bütün koyları ve burunları adımlayarak ölçüm yapan bir gözlemcinin bulduğu uzunluktan daha küçük bir değer olacaktır.

 Eğer sahil Euclides geometrisindeki şekillerden birine örneğin bir daireye benzeseydi, gittikçe küçülen pergel açıklıklarıyla yapılan ölçümler sonuçta belli bir değere yakınsardı. Ancak fraktal yaklaşıma göre, ölçek küçüldükçe bulunan sahil uzunluğu sürekli olarak artacak; körfez ve yarımadalardan daha küçük körfezcikler ve yarımadacıklar ortaya çıkacak ve bu işlem ancak atom boyutuna ulaşıldıktan sonra sona erecektir, çünkü sahillerin yapısında fraktallik mevcuttur. Bu yapıyı geometrik olarak tam tanımlı Koch eğrisine benzetebiliriz. Aşağıda nasıl elde edildiği adım adım anlatılan Koch eğrisi bir sahil için ideal bir model oluşturmaktadır (Şekil 1).

 Şekil 1’de görüldüğü gibi A0 adımında birim uzunlukta bir doğru parçası ile başlayıp A1 adımında her biri 1/3  birim uzunluğundaki 4 doğru parçasından yeni bir şekil elde edilir. Bunu yaparken orta 1/3’lük parça atılıp, onun yerine aynı uzunlukta iki parça eklenir. Bu şekilde her yeni adımda, bir önceki adımda elde edilen doğru parçalarına aynı işlem uygulanınca sonuçta fraktal bir şekil ortaya çıkar. İşleme bu şekilde devam edilip n. adıma gelinirse eğrinin toplam uzunluğu (4/3) n olacaktır. Eğer n yeterince büyük alınırsa eğrinin uzunluğu da sonsuza gidecektir. Diğer bir deyişle Koch eğrisinde iki nokta arasındaki uzaklık sonsuzdur. Eğer bu eğri yakından incelenirse şeklin tamamı ile onu oluşturan alt parçaların bir birine benzer olduğu görülür. Örneğin şeklin tamamını 3 kat küçültürseniz bir alt parçasını elde edersiniz. Bu küçültme işlemine sonsuza kadar devam edebilirsiniz.

 

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image002.gif

 Şekil 1: Koch eğrisinin oluşturulması

Bu aşamada artık bir fraktal şeklin tanımını yapabiliriz: Bir fraktal şekil kendi kendine benzer parçalardan oluşmuş bir şekildir. Fraktal şekillerin diğer önemli bir özelliği de boyutlarıdır. Bilindiği gibi Euclides geometrisindeki bütün şekiller tam sayı bir boyuta sahiptir. Örneğin noktanın boyutu 0, doğrunun boyutu 1, karenin boyutu 2, kübün boyutu 3’dür. Oysa fraktal şekiller tam sayı bir boyutla temsil edilemezler (Şekil 2). Koch eğrisi  iki nokta arasında sonsuz uzunlukta olması nedeniyle basit bir doğrunun ötesine taşmakta, diğer taraftan bir düzlemi de tam olarak dolduramamaktadır. Öyleyse Koch eğrisinin boyutu 1 ile 2 tam sayıları arasında yani kesirli bir sayı olmalıdır. Koch eğrisinin boyutu 1.26’dır. Bu örnekte olduğu gibi kesirli bir boyutlara fraktal boyut denir.

 

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image004.jpg

Şekil 2: Euclidyen ve Fraktal boyutların karşılaştırılması.

 

Çeşitli matematiksel fonksiyonların ardışık olarak çözülmesi sonucu son derece büyüleyici fraktal şekiller elde edilebilmektedir (Şekil 3, 4). Daha önce bir sahilin fraktal yapıya sahip olduğu üzerinde durulmuştu. Yalnızca sahiller değil,  doğanın her hangi bir parçası, adaların dağılımı, dağlar, bir havzadaki ana akarsu ve kollarının oluşturduğu şekil, buzullar, belli bir kristal yapının veya tanenin bir kaya içindeki dağılımı, bitkilerin geometrisi vb fraktal özelliktedir.  Şekil 5 ve 6 yakından incelenirse fraktal yaklaşımın doğayı son derece gerçekçi bir şekilde yansıttığı görülecektir.

  

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image006.jpg

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image008.jpg

Şekil 3: Julia kümesi                                  Şekil 4: Mandelbrot kümesi

 

http://www3.itu.edu.tr/~kkocak/fraktal_yazi_files/image009.gif

fractal landscape image

Şekil 5: Eğrelti otu                      Şekil 6: Fraktal manzara                                     

 

 

 

 

MATEMATİK VE DOĞA

Prof. Dr. Ali Nesin

Matematikle doğa arasındaki ilişkiyi kendimce irdelemek istiyorum bu yazımda.

1- Matematik Doğada Var mıdır? Matematiksel kavramlar doğada var mıdır? Olmadığını savunanlar var. Aşağı yukarı şöyle savunuyorlar: Doğada matematiksel bir nokta yoktur örneğin. Çünkü matematiksel nokta boyutsuzdur, ne elle tutulabilir ne de gözlemlenebilir. Kalemi kâğıda dokundurduğumuzda elde ettiğimiz “nokta” boyutludur, matematiksel nokta gibi boyutsuz değildir. Elektronun, üç boyutu ve az da olsa bir ağırlığı vardır. “İşte nokta” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur doğada. Doğada matematiksel nokta yoktur, olsa olsa çok küçük benekler vardır. “Nokta” kavramı insanların uydurması/yaratısıdır.

Doğada matematiksel anlamda bir doğru da yoktur. Kâğıdın üstüne çizdiğimiz “düz” çizgi hem sonludur, hem düz değildir, hem de birden fazla boyutu vardır. Kalemimiz ne denli ince yazarsa yazsın, çizdiğimiz her “düz” çizginin belli bir genişliği ve kalınlığı vardır. Oysa matematiksel doğru bir boyutludur, genişliği ve yüksekliği yoktur.
Doğada “sonsuz” da yoktur. Yaşadığımız evren sonludur. Evrendeki molekül, atom, elektron, foton sayıları sonludur. Kimse sonsuza kadar sayamaz, kimse sonsuzu gösteremez, kimse sonsuza gidemez, kimse sonsuzda olduğunu düşünemez. Düşlerimiz bile sonluda yer alır.
 sayısı da yoktur. Çünkü
pDoğada   sayısı 3,141592653589... diye sonsuza uzayıp giden (uzayıp gitmesi gereken)p bir sayıdır. Virgülden sonra gelen sayılar belli bir düzene göre de  de yoktur. Kimsepyinelenmezler. Bu yüzden, yani sonsuz olmadığından doğada  ’yi, bir çemberin (dairenin) çapına bölündüğünde eldep’yi tam olarak yazamaz. p ’nin doğada olduğunu göstermeye yeterlipedilen sayı olarak tanımlamak,  değildir. Çünkü bir çemberi ve çapını hesaplayıp bölme işlemini yaptığımızda, ’ye yaklaşık bir sayıyı buluruz. Kaldı ki doğada matematikselp’yi değil, p anlamda bir çember yoktur! Doğada “işte çember” diye gösterebileceğimiz bir nesne yoktur. Çember matematikçilerin yarattıkları bir kavramdır . Zaten  gibi gerçel sayılara gereksinmeyiz. 3,14159 =puygulamada hiçbir zaman  ’nin doğadap314159/10000 gibi kesirli sayılar uygulamada yeterlidir. Bu da,  olmadığı savını desteklemez mi?
 olmadığı gibi, 0,9999999... sayısı
pDoğada  da yoktur . Çünkü bu sayıyı yazmak için virgülden sonra sonsuz tane 9 koymalıyız ve ne yazık ki bu iş için yeterince zamanımız yoktur!
Doğada “bir” yoktur. Doğada olsa olsa “bir elma, bir armut” vardır. Ama doğada “bir” yoktur. Hatta doğada “bir elma” bile yoktur. Elmayla elmanın bulunduğu ortam arasındaki sınır tam belli değildir ki! Elmayla, elmanın bulunduğu ortam arasında sürekli molekül alışverişi vardır. Örneğin çürümeye yüz tutan bir elmanın tam ne zaman elmalıktan çıktığını söyleyebilir miyiz?
Her şey değiştiğinden, hiçbir şey olduğu gibi kalmadığından doğada “bir” yoktur. Doğada “bir” olmadığı gibi başka sayı da yoktur. Sayıları insanlar yaratmışlardır.
Ya sıfır? Sıfır var mıdır doğada? Sıfır, olmayan nesne sayısıdır. Olan nesneleri sayamadığımızı yukarda gördük, olmayan nesneleri saymak daha da zor olsa gerek !
Matematiğin en temel kavramları doğada yoktur. Daha soyut kavramları hele hiç yoktur!

Matematiğin doğada olmadığı herhalde üç aşağı beş yukarı böyle savunulur.
Bu felsefi hatta metafizik düşünceler hafife alınmamalı. Bir örnek daha vererek bu düşüncelerin yabana atılmaması gerektiğini göstereyim. Bildiğimiz uzayda iki nokta ele alalım. Bu iki nokta arasındaki uzay parçasının bir uzunluğu vardır. Diyelim 1 metre. Bu 1 metreyi ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz iki yarım metrenin herbirini de ikiye bölebiliriz. Elde ettiğimiz çeyrek metreleri de ikiye bölebiliriz. Kuramsal olarak her sayıyı ikiye bölebileceğimizden, bölme işlemini sonsuza değin yapabiliriz. Sonsuza değin olmasa bile dilediğimizce bölme işlemini sürdürebiliriz. Böle böle, bir atomun, bir elektronun, adını bilmediğim birçok parçacığın boyutlarından daha küçük bir sayı elde ederiz. Oysa fiziksel uzay durmadan ikiye bölünmez. Uzaklığı dilediğimiz kez ikiye bölebiliriz, ama fiziksel uzayı dilediğimiz kez ikiye bölemeyiz. Bir zaman sonra, fizik/doğa, uzayı ikiye bölmemizi engeller. Demek ki iki nokta arasındaki fiziksel uzayla bu iki nokta arasındaki matematiksel uzaklık aynı şey değildir. Uzaklığı bölebiliyoruz ama uzayı bölemiyoruz. Dolayısıyla matematikle yaşadığımız fiziksel uzay tam bir uzlaşım içinde değildir .

Matematiğin doğada olup olmadığı sorusu, matematiksel kavramların yaratı mı, yoksa keşif mi olduğu sorusuyla içiçedir.
Örneğin Amerika keşfedilmiştir, yaratılmamıştır; güneşin varlığı insanın varlığından bağımsızdır; yerçekimi insandan ve hatta yeryüzünden bağımsız vardır.
İnsan olmasaydı yerçekimi yasası bulunamazdı, ama bundan yerçekiminin olmadığı sonucu çıkmaz, hatta yerçekimi yasasının da insansız varolamayacağı sonucu çıkmaz.
Öklid düzlemi, üçgen ve açı gibi geometrik kavramlar, grup, halka ve cisim gibi cebirsel yapılar, iki değerli (doğru ve yanlış değerli) mantık birer keşif midir, yoksa matematikçilerin yaratıları mıdır?
Bir başka deyişle matematik, Amerika anakarası gibi, güneş gibi, yerçekimi gibi, bizim dışımızda var mıdır? Matematiksel kavramların varlıkları da insandan bağımsız mıdır?
Tartışma bizi zorunlu olarak bu soruya da sürükleyecek.
Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu yanıtlamak için, her şeyden önce doğayı tanımlamalıyız. Doğa ne demektir? Doğa tanımlanmadıkça, matematiğin doğada olup olmadığı sorusu tam anlamı olmayan, ancak sezgiyle kavranabilen bir soru olarak kalacaktır.
Bu yazıda doğayı tanımlamaya kalkışmayacağım. Çünkü bu yazının amacı doğayı tanımlamak değil, “doğa” kavramına açıklık getirmek. Bu yazıda, matematiğin doğada bulunmadığını savunanların doğa kavramını sorgulayacağım. Bu kavramın daha geniş tutulması gerektiğini, matematiğin doğada olmadığına inananların oldukça basitleştirilmiş ve bence eksik bir doğa kavramına sahip olduklarını ve ne derece soyut olursa olsun, matematiği matematikçinin yaratmadığını ama keşfettiğini, yani matematiğin insandan bağımsız varolduğunu savunacağım.
Her ne denli “doğa” sözcüğünü tanımlamayacaksam da, sözcüğü çok geniş anlamda kullandığımı belirtmeliyim. “Doğa” sözcüğü salt yaşadığımız dünyayı ve yakın çevresini kapsamıyor bu yazıda. Çok daha geniş anlamda kullanıyorum sözcüğü. Belki de “doğa” yerine “evren” ya da “dışdünya” demem daha doğru olurdu.

Matematiğin Kaynağı Doğadır. Matematiğin doğada olup olmadığı sorusunu bir yana bırakalım önce. Matematik ve matematiksel kavramlar – doğada veya bir başka yerde – var mıdır? Bu soruyu ele alalım.
Hiç kuşku yok ki matematiksel kavramlar vardır. Matematikçilerin uydurması olarak bile olsa, ”
pmatematik ve matematiksel kavramlar vardır. “Bir” kavramı, “çember” kavramı, “ kavramı vardır. Matematiksel kavramlar – doğada olsunlar veya olmasınlar, matematikçilerin yaratısı olarak bile olsa, düşünce olarak bile olsa, soyut düzeyde bile olsa – vardırlar. Matematikçiler bu kavramları tanımlamışlardır. Bundan kuşkumuz yok. Zaten bu kavramlar olmasaydı matematiksel kavramların doğada olup olmadıkları sorusu sorulmazdı bile. Doğruluğu apaçık belli olan bu sözlerde derin bir gerçek aramasın okur, herkesin bildiğini yineliyorum.
Bu varolan kavramlar yoktan mı varolmuştur? Yoktan hiçbir şeyin varolmayacağını biliyoruz. En soyut düşünceler bile somuttan kaynaklanır. Matematiksel kavramlar da yoktan varolmamıştır. “Saf düşünce ürünü” diye bir şey yoktur, olamaz. Her düşünce ürünü bizim dışımızdaki gerçeklerden kaynaklanır. Sanatta olsun, bilimde olsun, felsefede olsun, her soyut düşüncenin, her kavramın ana kaynağı doğadır, bizim dışımızdaki dünyadır. Bunun tersini düşünmek yoktan bir şeyin varolabileceğini düşünmek olur.
Her düşünce ürünü gibi matematiğin de kaynağı dış dünyamızdır. Yani matematik dış dünyadan tamamıyla bağımsız değildir. En azından matematiğin ana kaynağı matematikçinin dışındadır.

3. Matematik ve Teknoloji. Günümüzün ileri teknolojisine matematik sayesinde eriştiğimiz gözönüne alınınca, matematiğin büsbütün doğadan bağımsız olmadığı da belli oluyor zaten. Matematiğin çok soyut kavramları bile zamanla uygulama alanı bulabiliyor. Bu da, elbette, matematiğin doğayı üç aşağı beş yukarı kavrayabildiğini, betimleyebildiğini, doğanın yasalarını gerçeğe oldukça sadık kalarak kâğıda dökebildiğini gösterir. Demek ki matematik, bir ölçüde bile olsa, doğayı anlamamızı sağlıyor. Doğada “bir” olsun veya olmasın, matematikteki “bir” kavramıyla tansıklar yaratılıyor: uzaya gidiliyor, gökdelenler dikiliyor, uydular aracılığıyla dünyanın bir köşesiyle öbür köşesi arasında ses ve görüntü bağlantısı kuruluyor... Matematik doğanın yasalarını ve mantığını anlamaya çalışan ve bunda da çok başarılı olan bir bilim dalı ve bir uğraştır.
Bu teknolojik gelişmelerin soyut matematikle değil, fizikle, kimyayla, mühendislikle ve uygulamalı matematikle gerçekleştiği ileri sürülebilir. Bu sav hem doğrudur hem yanlış. Bir yandan kuramsal ve soyut matematik en beklenmedik anda uygulama alanı bulabilmektedir, öte yandan gelecekte bile nasıl uygulanacağı bilinmeyen matematiksel araştırmalar yapılmaktadır. Aynı ikilem kuramsal fizik için de geçerlidir. Kaldı ki, teknolojiye uygulanan fizik, kimya ve mühendislik de ilk önce kâğıt üzerinde yapılıyor, uygulamaya sonra geçiliyor.
Matematiğin yararlarından bir başka yazımda sözedeceğimden bu konuyu kısa kesiyorum. Şimdilik şunu aklımızda tutalım: 1) Uygulanan matematik vardır, 2) Bugün uygulama alanı bilinmeyen soyut matematik vardır ve yapılmaktadır, 3) Bugün soyut sanılan matematik gelecekte doğrudan ya da dolaylı olarak uygulama alanı bulabilir (bulamayabilir de.)

4. Matematik Doğayı Yorumlar. İkinci bölümde matematiğin kaynağının bizim dışımızdaki dünya olduğunu söyledim. Bu savım yanlış anlaşılmasın: beynimizin dışdünyayı, bizim dışımızdaki gerçeği yorumlamadığını söylemiyorum. Cézanne’ın elmaları ve manzaraları, Picasso’nun ölüdoğaları (natürmortları) ve çıplakları doğanın aynen resmedilişi değildir, bir yorumdur. Matematik de resim gibi doğayı yorumlar. Örneğin iki nokta arasındaki uzay parçası matematikte bir sayıyla (iki nokta arasındaki uzaklıkla) ifade edilir. Elbette bir sayı ve bir uzay parçası arasında ayrım vardır. Burda bir yorum sözkonusudur.
Bir başka örnek vereyim: beş metre ’nin yerini tam olarak gösteremeyiz. O zaman
puzunluğunda bir cetvel üzerinde   sayısının olup olmadığını nerden biliyoruz?pdoğada fiziksel anlamda
Biraz daha ileri gideyim. Doğada, fiziksel anlamda, 0’dan büyük ama 1/2’den, 1/3’ten, 1/4’ten ve genel olarak her n > 0 tamsayısı için 1/n’den küçük bir sayının olmadığını kabul ediyoruz. Yani, sonsuz küçük sayıların doğada fiziksel anlamda olmadıklarını kabul ediyoruz. Neden? Doğada fiziksel anlamda sonsuz küçük sayıların olmadığı nerden belli? Belki sonsuz küçük sayılar var da biz (sonsuz küçük olduklarından) gözlemleyemiyoruz. Bu bir olasılıktır. Hiç kimse bize doğada sonsuz küçük sayıların olmadığına güvence veremez .
Demek istediğim, doğadaki uzaklıkların bildiğimiz gerçel sayılarla ölçülebileceği varsayımının doğanın bir yorumu olduğudur.
Son bir örnek daha vereyim. Matematikte 3 sayısı {0,1,2} kümesi olarak, 2 sayısı {0,1} kümesi olarak, 1 sayısı {0} kümesi olarak tanımlanır. 0 sayısıysa Ø olarak, yani boşküme olarak tanımlanır. Görüldüğü gibi sayıların matematiksel tanımı bir yorumdur. “Üç”ün bir küme olarak tanımlanması ve hele {0,1,2} kümesi olarak tanımlanması için görünürde bir neden yoktur .
Demek ki matematik doğayı yorumlar, tam olarak betimlemez. Bu yorum kusursuz bir yorum olmayabilir, ama bir önceki bölümde de savunduğum gibi büsbütün kusurlu da değildir.

5. Modern Matematik Bir Zorunluluktur. , 1, 2, 3 gibi kavramların doğada bulunduğuna inanan,
pNokta, doğru, çember,  ancak modern matematiğin doğada bulunduğuna inanmayanlar olabilir. Bu düşünceyi de paylaşmıyorum. Bu bölümde modern matematiğin bir zorunluluk olduğunu savunacağım.
Modern matematik matematik tarihinden soyutlanarak ele alınırsa, modern matematiğin yapay bir bilim olduğu kanısına varılabilir. Günümüzün soyut matematiğinin bir zorunluluk olduğunu anlamak için matematik tarihini incelemeliyiz. Çünkü matematiğin her kavramı daha önce tanımlanmış başka kavramlardan kaynaklanır ve bulunan her yeni kavram başka kavramların bulunmasına neden olur. Matematiğin her kavramının bir temeli, bir geçmişi, varoluşunun bir gerekçesi vardır. Hiçbir matematikçi durup dururken yeni bir kavram üretmez. Matematikçilerin tanımladıkları her kavram bir gereksinim sonucudur.
Örneğin, doğru ve çember kavramlarından eğri kavramı, eğri kavramından süreklilik, limit ve türev kavramları, bu kavramlardan sonsuz küçük kavramı, sonsuz küçük kavramından sonsuz büyük kavramı doğar. Sayılar kavramından polinom ve cisim kavramları, bu kavramlardan grup kavramı doğar. Uzaklık kavramından topolojik uzay kavramı, topolojik uzay ve türev kavramlarından manifold kavramı doğar.
Bir örnek daha vereyim. Diyelim ilkel bir toplum 20’ye değin saymasını biliyor ve 20’den büyük sayılar için “çok” terimini kullanıyor. Bu ilkel toplumun 21, 22, 23 sayılarını zamanla öğreneceğinden kuşkumuz olmamalı. 20’ye dek sayabilmek belli bir zekânın göstergesidir. 20’ye değin sayabilen bir toplumun 21’i öğrenemeyeceğini düşünemeyiz. Bu ilkel toplum gel zaman git zaman 21’i, 22’yi, 23’ü öğrenecek, hatta “artı 1” kavramına ulaşacaktır. Arkası kendiliğinden gelir. “Artı 1” kavramına ulaşan bir toplum kolaylıkla evrendeki “parçacık” sayısından daha büyük sayılara ulaşır. Oysa evrende böyle bir sayı fiziksel olarak yoktur, ama “artı 1” soyutlaması bu sayıyı “yaratır”. Fiziksel olarak evrende bulunmayan bu çok büyük sayılardan “sonsuz” kavramına varmak zor değildir.
Ben gerçekten de “sonsuz” ve “artı 1” soyutlamasına erişmek için 20’ye değin sayabilmenin yeterli olduğuna inanıyorum. 20’ye değin sayabilen toplumların, salt bu kavramları değil, ne derece soyut olursa olsun, her matematiksel kavramı bir zaman sonra bulacağına inanıyorum.

Yukarda, her kavramın bir başka kavramdan doğduğunu söyledim. Biraz daha ileri gideyim: Matematikçi tanımlayacağı kavramları karşısında tanımlanmaya hazır bulur. Dahaca tanımlanmamış kavramlar matematikçinin kâğıtları arasından sırıtır. Bu kavramı görmek matematikçi için bir zaman sorunudur. Örneğin “asal sayı” kavramı tamsayılarla uğraşan herkesin karşısına çıkar. Asal sayı kavramı bir matematikçinin durup dururken birdenbire bulduğu bir kavram değildir. Sayı kavramı asal sayı kavramını içinde taşır. Sayıları anlamak isteyen her akıllı yaratık, asal sayı kavramını bulmak zorundadır.
Her matematiksel kavram daha önce bulunmuş matematiksel kavramlardan kaçınılmaz olarak doğar.
Ayrıca, matematiksel kavramlar kendilerini salt bir dalda göstermezler. Aynı kavram, birbiriyle ilintisiz gibi görünen birçok araştırmada, birçok matematik dalında ’nin raslanmadığı
p sayısı buna güzel bir örnektir. portaya çıkabilir.  matematiksel konu yok gibidir.
Sonuç olarak, modern matematiğin doğada  gibi,
pvarolduğunu kanıtlamak için, nokta gibi, doğru gibi, 1, 2, 3 gibi, 0 ve  sonsuzluk gibi temel matematiksel kavramların doğada varolduklarını kanıtlamam gerekiyor. Matematiğin bu başat kavramlarının doğada varolduklarını kanıtlayabilirsem, bu kavramların zorunlu bir sonucu olan çok soyut matematiksel kavramların da doğada olduklarını kanıtlamış olacağım.

6. Matematik Doğada Vardır. Dördüncü bölümde, matematiğin gözlemlediğimiz doğayı yorumladığını savundum. Şimdi bu yorumun zorunlu olduğunu, bir seçeneğimizin olmadığını savunacağım. Doğayı nasıl yorumlamamız gerektiğini doğa kendisi bize söylemektedir. Çeşitli yorumlardan birini seçmek sözkonusu değildir.
Yukardaki, “doğada bir elma yoktur” düşüncesini ele alalım. “Doğa” sözcüğü çok kısıtlı bir anlamda anlaşıldığında bu düşünce doğru olabilir. Doğada bir değil, birçok elmanın olduğu ve hatta her elmanın her an değiştiği, elmayla ortam arasındaki sınırın tam olarak bilinemeyeceği savunulabilir. Dolayısıyla, “bir elma” yoktur denilebilir.
Ancak bu doğa anlayışını kabul ettiğimizde, doğa, parçalara ayrılamayan, durmadan değişen, bir türlü gözlemlenemeyen ve kavranamayan, elle tutulmaz, dille anlatılmaz, yazıyla betimlenemez bir bütün olur. Hatta böyle bir doğa anlayışından doğada doğanın kendisinden başka hiçbir şeyin olmadığı sonucu çıkabilir. Eğer doğa gerçekten anlaşılamayan bir bütünse, o zaman bir sorun yok. Ama doğanın hiç de anlaşılamayan bir şey olduğunu sanmıyorum. Barajlarla selleri, paratonerlerle yıldırımları önlüyoruz. Yerçekimini yeterince anlamış olmalıyız ki, uçaklar, jetler, füzeler yapıp yerçekimine karşı gelebiliyoruz.
Dolayısıyla bu doğa anlayışı pek doğru olmamalı. Doğayı anlamak demek, doğanın bütün sırlarına erişmek demek olmamalı. Her ne denli doğa hâlâ daha gizemliyse de, doğayı biraz olsun kavrayabiliyoruz. Matematik, doğayı – yaklaşık olarak bile olsa – anlamamızı sağlıyor. Teknolojik gelişmeler bunun bir kanıtıdır.
Doğa yalnızca gördüklerimiz, duyduklarımız, kokladıklarımız, duyumsadıklarımız değildir. Doğanın bize sezdirdikleri de vardır. Örneğin, matematiksel doğru doğada fiziksel olarak bulunmayabilir, ama doğru düşüncesi (kavramı) doğada vardır ve doğa bize doğru kavramı sezdirtir. Upuzun bir ağaç, denizle gökyüzünü ayıran çizgi, güneş ışınları doğru kavramını fısıldarlar. Bal peteğinin hücreleri matematiksel altıgeni, gece gördüğümüz yıldızlar matematiksel noktayı, ay, güneş ve gezegenler matematiksel çemberi ve küreyi fısıldarlar. Gezegenlerin yörüngesi elipsi ve genel olarak eğriyi fısıldar. Geçen günler, mevsimler ve yıllar, bir ormandaki ağaçlar, bir bitkinin yaprakları, 1, 2, 3 gibi sayı kavramlarını fısıldarlar. Bu fısıltı biz insanlardan bağımsız vardır. Bu fısıltıyı duyabilecek varlık olmasa da fısıltı vardır.
Doğada “işte!” diye gösterebileceğimiz bir “bir” olmayabilir. Ama doğa bize “bir” kavramını fısıldar. Avustralya ve Afrika’nın yerlileri de, Aztekler de, İnkalar da, Batı kültürüyle tanışmamış olmalarına karşın, 1’i, 2’yi 3’ü bulmuşlardır. Demek ki doğanın bu fısıltısını duymak yalnızca bir uygarlığa özgü değildir, her uygarlık duyabilir.
Arı peteğinin her hücresi kusursuz bir altıgen olmayabilir. Ama arı, peteğinin hücresini yaparken hücrenin altıgen olmasına çalışır. Sabun köpüğü mükemmel bir küre olmayabilir, ama sabun köpüğü mükemmel bir küre olmaya çalışır. Sonsuz küçük sayılar fiziksel olarak olsa da olmasa da, bu sayılar doğada düşünce/fısıltı olarak vardırlar, örneğin durmadan küçülen ama hiçbir zaman sıfır olmayan 1/2, 1/3, 1/4, 1/5... dizisi bize sonsuz küçüğü anlatır.

7. Sonuç. Sonuç olarak, en temel matematiksel kavramların doğada bulunduğuna inanıyorum. Ve matematiğin en derin, en soyut kavramlarının doğanın bize sunduğu en temel kavramlardan bir zorunluluk sonucu doğduğuna inanıyorum. Ayrıca her kavramın bağrında başka kavramlar barındırdığına inanıyorum.
Matematik, matematikçilerden ve insanlardan bağımsız olarak vardır. Pisagor diküçgenleri yaratmamıştır, keşfetmiştir. Galois, grupları yaratmamıştır, keşfetmiştir. Noether, halkaları yaratmamıştır, keşfetmiştir. Hilbert, Hilbert uzaylarını yaratmamıştır, keşfetmiştir...
Matematiğin evrenselliğine inanıyorum. Kanıma göre matematik, hem insanlardan hem de belli bir kültürden ve uygarlıktan bağımsızdır.
Yanlış anlaşılmak istemem: Askeri amaçlarla yapılan matematiksel araştırmalar matematiğin belli bir dalının erken gelişmesine neden olabilir; Arşimet gibi, Gauss gibi, Newton gibi dehalar kişisel çabalarıyla matematiğin daha çabuk gelişmesini sağlamış olabilirler; hatta, ataerkil bir toplum olmasaydık, günümüzün matematiği biraz daha değişik olabilirdi. Bunları yadsımıyorum. Gene de her düşünen toplumun bugün bildiğimiz matematiği er ya da geç bulacağına (keşfedeceğine) inanıyorum.
Kısacası matematiğin doğada bulunduğuna inanıyorum.

8. Hardy’nin Düşünceleri. Böylesine önemli bir konuda son sözü söylemek bana düşmez. Ünlü matematikçi G.H. Hardy’nin konumuzla ilgili yazdıklarını aktararak bitireyim yazımı :
Fiziksel gerçekle maddi dünyayı; gecesi gündüzü olan, depremleri olan, ay ve güneş tutulmaları olan dünyayı; fiziksel bilimlerin anlatmaya çalıştığı dünyayı kastediyorum. [...] Benim için ve sanırım çoğu matematikçi için “matematiksel gerçek” diye tanımlayacağım başka bir gerçek vardır. Bu matematiksel gerçeğin niteliği hakkında gerek matematikçiler gerek felsefeciler arasında herhangi bir uzlaşma yoktur. Bazılarına göre “zihinsel”dir ve onu bir bakıma biz yaratırız; diğerleri ise onun bizim dışımızda ve bizden bağımsız olduğu kanısındadır. Matematiksel gerçeğin ne olduğunu, inandırıcı bir şekilde açıklayabilecek bir kimse metafiziğin en zor problemlerinin çoğunu çözmüş olurdu. [...] Benim inancıma göre, matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir; ıspatladığımızı veya tumturaklı sözlerle yarattığımızı söylediğimiz teoremler; gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir. Bu görüş Platon’dan bu yana bir çok ünlü filozof tarafından da benimsenmiştir.
Hardy, aynı kitabın 24. bölümünde matematiksel gerçeklikle fiziksel gerçekliği karşılaştırıyor:
[...] matematiksel objeler [nesneler], çok daha göründükleri gibidirler. Bir iskemle veya bir yıldız hiç de göründüğü gibi değildir; üzerlerinde ne kadar çok düşünürsek, görüntüleri de, duyularımızdan kaynaklanan bir sis içinde, o ölçüde netliğini kaybeder, bulanıklaşır. Buna karşılık, “2” veya “317”nin duyularla ilişkisi yoktur; yakından incelediğimiz ölçüde özellikleri daha da berraklaşır. [...] pür matematik, tüm idealizmin çarpıp battığı bir kayadır. 317 bir asaldır; biz öyle düşünüyoruz diye, veya kafa yapımız şu ya da bu şekilde olduğu için değil; çünkü öyledir, çünkü matematiksel gerçeğin yapısı budur.

Prof. Dr. Ali Nesin

www.matematikgeometri.com